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Límite de una sucesión de conjuntos

Definimos el concepto de límite de una sucesión de conjuntos y estudiamos algunas de sus propiedades. Enunciado Sea $A_1,A_2,A_3,\ldots$ una sucesión de conjuntos contenidos en un conjunto universal $U$. Se definen: $$\liminf A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k,\quad \limsup A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} … Sigue leyendo

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Derivación paramétrica y límite

Enunciado 1. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{x^2+t^2}\quad (x>0).$ 2. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{(x^2+t^2)^{n+1}}.$ Indicación: derivar la integral respecto de un parámetro y razonar por inducción. 3. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^n}.$ 4. Como aplicación de lo anterior, calcular el límite: $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2n-3)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2n-2)}\cdot \sqrt{n}.$$ … Sigue leyendo

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