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- $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}.$
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Archivo de la etiqueta: límite
Derivación paramétrica y límite
Enunciado 1. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{x^2+t^2}\quad (x>0).$ 2. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{(x^2+t^2)^{n+1}}.$ Indicación: derivar la integral respecto de un parámetro y razonar por inducción. 3. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^n}.$ 4. Como aplicación de lo anterior, calcular el límite: $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2n-3)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2n-2)}\cdot \sqrt{n}.$$ … Sigue leyendo
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Etiquetado derivación, límite, paramétrica
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Límite puntual
Proporcionamos ejercicios sobre el límite puntual de sucesiones de funciones. Enunciado Se considera la sucesión de funciones $f_n:[-1,1]\to \mathbb{R},$ $f_n(x)=x^n.$ Determinar la función límite puntual. Se considera la sucesión de funciones $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f_n(x)=e^{-n^2x^2}.$ Determinar la función límite puntual. Se … Sigue leyendo
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Etiquetado límite, puntual
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Integral definida como límite de sumas
Enunciado Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua. Demostrar las fórmulas:$$\int_a^bf(x)\;dx=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right),$$$$\int_a^bf(x)\;dx=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\frac{b-a}{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right).$$ Calcular $\displaystyle\int_1^{10}(1+x)\;dx$ por medio del límite de una sucesión de sumas integrales. Calcular $\displaystyle\int_0^{a}x^2dx$ por medio del límite de una sucesión de sumas integrales. Solución La longitud de … Sigue leyendo
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Etiquetado definida, integral, límite, sumas
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Límite de una sucesión matricial
Usando diagonalización, hallamos el límite de una sucesión matricial. Enunciado Sea $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ una aplicación lineal cuya matriz respecto de la base canónica es $A.$ Se sabe que $f(2,-1)=(1,-1)$ y que $f(1,-2)=(2,-4).$ 1. Determinar $A.$ 2. Hallar los valores y … Sigue leyendo
Sucesión funcional con límite Gamma (x)
Estudiamos una sucesión funcional que tiene como límite la función gamma de Euler. Enunciado Para cada entero positivo $n$ se considera la función definida por $I_n(x)=\displaystyle\int_{0}^{n}t^{x-1}\left(1-\displaystyle\frac{t}{n}\right)^ndt\quad (x>0),$ y se pide (a) Determinar explícitamente $I_1(x),\;I_2(x),\;I_3(x).$ (b) Determinar la expresión explícita de … Sigue leyendo
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Etiquetado funcional, gamma, límite, sucesión
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