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Archivo de la etiqueta: límites
Límites en dos variables
RESUMEN. Proporcionamos ejercicios de límites en dos variables. Enunciado Demostrar usando la definición que $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}(x+y)=0.$ Demostrar usando la definición que $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}xy=0.$ Demostrar que $L=\displaystyle\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^3 – y^3}{x^2+y^2}=0.$ Se considera la función $$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{y}{x}\sin (x^2+y^2) … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado límites
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Caracterización de límites de funciones en espacios métricos por sucesiones
RESUMEN. Demostramos el teorema de caracterización de límites de funciones en espacios métricos por sucesiones. Teorema. Sean $(X,d)$ un espacio métrico, $A\subset X$, $f:A\to X$ una función, $a$ un punto de acumulación de $A$ y $b\in X.$ Entonces, $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b\Leftrightarrow … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado caracterización, espacios métricos, funciones, límites, sucesiones
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Límites de funciones por la definición
Proporcionamos ejercicios de límites de funciones por la definición. Enunciado Demostrar que: $$a)\;\lim_{x\to 1}\;(2x+3)=5.\quad b)\; \lim_{x\to 2}\;\left(\frac{2}{3}x-1\right)=\frac{1}{3}.\quad c)\; \lim_{x\to 1/2}\;(-x-1)=-\frac{3}{2}.$$ Demostrar que $\;\;a)\;\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2=0.\quad b)\;\lim_{x\to 0}x^3\operatorname{sen}x=0.$ Demostrar que: $\displaystyle\lim_{x\to 2}\;\left(x^2+x-2\right)=4.$ Demostrar que $\displaystyle\lim_{x\to 3} \frac{2}{x+1} =\frac{1}{2}.$ Demostrar que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0.$ … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado definición, funciones, límites
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Cálculo de límites de sucesiones mediante integrales
Enunciado Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}\right).$ Calcular $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1^p+2^p+3^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}\quad (p>0).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}.$ Relacionar el límite $$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{n+n}\right)$$ con la integral $\displaystyle\int_1^2\dfrac{1}{x}\;dx$. Calcular el límite anterior. Calcular $L=\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}.$ Solución Llamemos $L$ al límite pedido. Entonces,$$\begin{aligned}L&=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdots+\frac{n-1}{n}\right)\\ &=\lim_{n\to … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado cálculo, integrales, límites, sucesiones
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Límites infinitos
Proporcionamos ejercicios sobre límites infinitos. Enunciado Demostrar que $\lim\; (2n+11)=+\infty,$ y que $\lim\:(-3n+7)=-\infty.$ Sea $\{x_n\}$ convergente con límite no nulo, e $\{y_n\}$ divergente. Hallar el límite de la sucesión $\{x_ny_n\}$ Siendo $P(x)\in \mathbb{R}[x]$, calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}P(n).$ Sean $\{x_n\}$ e $\{y_n\}$ … Sigue leyendo
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