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Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales

En los siguientes ejercicios, deducimos los desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales. Enunciado Demostrar que $$e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\cdots =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$ y que si $a>0,$ $$a^x=1+\dfrac{x\log a}{1!}+\dfrac{x^2\left(\log a\right)^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n\left(\log a\right)^n}{n!}+\cdots =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k\left(\log a\right)^k}{k!}$$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Demostrar que $$\operatorname{ch}{x}=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots +\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}\quad\left(\forall … Sigue leyendo

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Serie de Maclaurin

Enunciado Sea $I$ un intervalo abierto centrado en $0$ y $f$ una función definida en $I.$ Si $f$ es igual en $I$ a la suma de una serie entera, demostrar que esta serie es necesariamente $$f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+\cdots.$$ Sea $I$ intervalo abierto … Sigue leyendo

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