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Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial

Relacionamos la fórmula integral de Cauchy con la matriz exponencial. Enunciado La fórmula integral de Cauchy se puede generalizar a matrices de la siguiente manera $$f(M)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\gamma}f(z)(zI-M)^{-1}\;dz,$$ donde $\gamma$ es la circunferencia $|z|=r,$ $I$ es la matriz identidad y todos … Sigue leyendo

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Matriz de una forma bilineal

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de matriz de una forma bilineal. Enunciado Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{R}$ y $$B_E=\{u_1,u_2,u_3\},\quad B_F=\{v_1,v_2\}$$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Sea $ f:E\times F\to \mathbb{R}$ una forma bilineal que … Sigue leyendo

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Valores propios de una matriz nilpotente

En este problema se analizan los valores propios de una matriz nilpotente. Enunciado Sea $A$ matriz cuadrada nilpotente, es decir existe un entero positivo $m$ tal que $A^m=0$. Se pide: $(a)$ Demostrar que $\lambda=0$ es valor propio de $A$. $(b)$ … Sigue leyendo

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Número e y exponencial de una matriz

Se define la exponencial de una matriz como generalización de la exponencial real. Enunciado En la Enseñanza Media se define el número $e$ como el límite: $\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m,$ y de manera más general resulta ser $e^a=\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}a\right)^m,$ donde … Sigue leyendo

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Potencia enésima de una matriz por diagonalización

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de la potencia enésima de una matriz por diagonalización. Enunciado Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $m$ con elementos en un cuerpo $\mathbb{K}$ y diagonalizable. Deducir la fórmula para $ A^n $ en función … Sigue leyendo

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