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- $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}.$
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Archivo de la etiqueta: media
Media y desviación típica de la distribución normal
RESUMEN. Hallamos la media y desviación típica de la distribución normal. Enunciado. $(a)$ Sea $X$ una variable aleatoria con distribución normal. Demostrar que la funciónn $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\dfrac{-\frac{1}{2}(x-\mu)^2}{\sigma^2}}$$ que la define es efectivamente una función de densidad. $(b)$ Determinar su … Sigue leyendo
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Media y desviación típica de la distribución de Poisson
RESUMEN. Hallamos la media y desviación típica de la distribución de Poisson. Enunciado. Dada la distribución de Poisson: $$p(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\quad (\lambda > 0,k=0,1,2,\ldots).$$ $(a)$ Hallar su media $\mu_X.$ $(b)$ Hallar su desviación típica $\sigma_X.$ Solución. $(a)$ Tenemos $$\mu_X=E[X]=\sum_{k=0}^{+\infty}p_kx_k=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}k=e^{-\lambda}\lambda\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=$$ $$e^{-\lambda}\lambda\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=e^{-\lambda}\lambda e^{\lambda}=\lambda.$$ $(b)$ … Sigue leyendo
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Media y desviación típica de la distribución binomial
RESUMEN. Hallamos la media y desviación típica de la distribución binomial. Enunciado. Dada la distribución binomial $B(n,p)$ $$P(X=k)=\displaystyle \binom{n}{k}p^kq^{n-k}\quad (k=0,1,\ldots,n),$$ $(a)$ Hallar su media $\mu_X.$ $(b)$ Hallar su desviación típica $\sigma_X.$ Solución. $(a)$ Tenemos $$\mu_X=E[X]=\sum_{k=0}^n p_kx_k=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}p^kq^{n-k}k=\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}p^kq^{n-k}k.$$ Por otra parte, para … Sigue leyendo
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Criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica
Proporcionamos ejercicios sobre los criterios de Stolz y de las medias aritmética y geométrica para hallar límites. Enunciado Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2}{n^3}.$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{2}{n}+\frac{3}{2n}+\frac{4}{3n}+\cdots+\frac{n+1}{n^2}\right).$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{2\cdot\dfrac{5}{4}\cdot \dfrac{10}{9}\cdot\ldots\cdot\dfrac{n^2+1}{n^2}}.$ A partir del criterio de Stolz, demostrar el criterio de la media … Sigue leyendo
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