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Función suave pero no analítica
Proporcionamos un ejemplo de función suave, i.e. de clase infinito, que no es analítica, i.e. que no es igual a la suma de su serie de Maclaurin. Enunciado Sea la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x}&\text{si }x>0,\\ 0&\text{si }x\le0.\end{cases}$$ Demostrar que para … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado analítica, función, no, suave
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Sistemas diferenciales lineales no homogéneos con coeficientes constantes
Resolvemos dos sistemas diferenciales lineales no homogéneos con coeficientes constantes. Enunciado Resolver el sistema diferencial: $$X’=\begin{bmatrix}{\;\;4}&{1}\\{-2}&{1}\end{bmatrix}X+\begin{bmatrix}{0}\\{-2e^{t}}\end{bmatrix},$$ con la condición $X(0)=\begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}.$ Resolver el sistema diferencial: $$X’=\begin{bmatrix}{-1}&{0}&{0}\\{\;\;0}&{2}&{1}\\{\;\;0}&{0}&{2}\end{bmatrix}X+\begin{bmatrix}{t}\\{1}\\{0}\end{bmatrix},$$ con la condición $X(0)=\begin{bmatrix}{\;\;0}\\{\;\;1}\\{-1}\end{bmatrix}.$ Solución Recordemos el siguiente teorema: sea el sistema diferencial lineal no … Sigue leyendo
Publicado en Ecuaciones diferenciales
Etiquetado coeficientes, constantes, diferenciales, homogéneos, lineales, no, sistemas
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Convergencia uniforme en un intervalo no acotado
Estudiamos la convergencia uniforme de una sucesión de funciones en un intervalo no acotado. Enunciado Para cada $n=1,2,\ldots$ se define el subconjunto $A_n$ de $\mathbb{R}:$ $A_n=\left \{ \begin{matrix}(n,n^2) & \mbox{ si }& n\mbox{ par}\\ [-2n^2,-1/n] & \mbox{si}& n\mbox{ impar}.\end{matrix}\right.$ y … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado acotado, convergencia, intervalo, no, uniforme
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Dominio de integridad no euclídeo
Proporcionamos un ejemplo de dominio de integridad que no es euclídeo. Enunciado Demostrar que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]=\{a+b\sqrt{5}i:a,b\in\mathbb{Z}\}$ es dominio de integridad con las operaciones habituales suma y producto de complejos. Hallar el conjunto $\mathcal{U}$ de las unidades de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$. Demostrar que $6$ … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado dominio, euclideo, integridad, no
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Normas no equivalentes
En el siguiente problema, damos un ejemplo de dos normas no equivalentes en un espacio vectorial de dimensión infinita, y demostramos que en todo espacio vectorial normado de dimensión infinita existen al menos dos normas que no son equivalentes. Enunciado … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado equivalentes, no, normas
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