Archivo de la etiqueta: norma

Vector de norma mínima en un subconjunto de un espacio de Hilbert

RESUMEN. Demostramos que en todo subconjunto no vacío convexo y cerrado de un espacio de Hilbert existe un vector de norma mínima. Enunciado Sea $A$ un subconjunto no vacío convexo y cerrado de un espacio de Hilbert $H$. Demostrar que … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , | Comentarios desactivados en Vector de norma mínima en un subconjunto de un espacio de Hilbert

Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos

Demostramos la desigualdad de Schwarz en espacios prehilbertianos y las propiedades de la norma. Enunciado Sea $P$ un espacio prehilbertiano, es decir un espacio vectorial complejo con producto escalar. Para todo $x\in P$ se define la norma (o longitud) de … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , , , | Comentarios desactivados en Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos

Norma de una aplicación lineal y continua

Enunciado Sean $E$ y $F$ dos espacios normados y $T:E\to F$ una aplicación lineal y continua. Sabemos que en tal caso existe $K>0$ tal que $\left\|T(x)\right\|\le K\left\|x\right\|$ para todo $x\in E.$ En consecuencia el conjunto $$\left\{ \frac{\left\|T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}:x\in E,\;x\ne 0\right\}$$ está … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , , | Comentarios desactivados en Norma de una aplicación lineal y continua

Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo

En este problema se demuestra que el espacio vectorial $\mathcal{C}(I)$ de las funciones continuas (reales o complejas) definidas en $I=[a,b]$ es un espacio de Banach con la norma del supremo. Enunciado Sea  $I=[a,b]$ intervalo cerrado de la recta real y  … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , , , , | Comentarios desactivados en Espacio de Banach de las funciones continuas con la norma del supremo

Distancia inducida por la norma

Estudiamos propiedades de la distancia inducida por la norma. Enunciado Sea $x\to \left\|x\right\|$ una norma en un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$d:E\times E\to \mathbb{R}^+,\quad d(x,y)=\left\|x-y\right\|$$ es una distancia en $E.$ Nota. Como consecuencia, todo espacio normado puede ser considerado … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , | Comentarios desactivados en Distancia inducida por la norma