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Distancia inducida por la norma

Estudiamos propiedades de la distancia inducida por la norma. Enunciado Sea $x\to \left\|x\right\|$ una norma en un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$d:E\times E\to \mathbb{R}^+,\quad d(x,y)=\left\|x-y\right\|$$ es una distancia en $E.$ Nota. Como consecuencia, todo espacio normado puede ser considerado … Sigue leyendo

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Norma, espacio normado

Proporcionamos ejercicios sobre los conceptos de norma y espacio normado. Enunciado Sea $E=C\left([a,b]\right)$ el espacio vectorial de las funciones continuas sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) $f:[a,b]\to\mathbb{K}.$ Demostrar que $\left\|f\right\|=\displaystyle\int_a^b\left|f(x)\right|dx$ es una norma en $E.$ Sea $I=[a,b]$ intervalo cerrado de la … Sigue leyendo

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Espacio euclideo, norma

Definimos la norma en un espacio euclídeo y proponemos ejercicios de aplicación. Enunciado En el espacio euclídeo $\mathbb{R}_2[x]$ dotado del producto escalar $$\left<p(x),q(x)\right>=\int_0^1p(x)q(x)\;dx,$$ determinar la norma del vector $p(x)=-1+2x+3x^2.$ En el espacio euclídeo $\mathbb{R}_2[x]$ dotado del producto escalar $$\left<p(x),q(x)\right>=\sum_{i=0}^2p(i)q(i),$$ determinar … Sigue leyendo

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Norma de una matriz antisimétrica

Calculamos la norma de una matriz antisimétrica genérica. Enunciado Calcular la norma $ \left\|{A}\right\|_2$ de la matriz $A=\begin{bmatrix}{\;\;0}&{-c}&{\;\;b}\\{\;\;c}&{\;\;0}&{-a}\\{-b}&{\;\;a}&{\;\;0}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 3}.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Sabemos que $ \left\|{A}\right\|_2=\sqrt{\lambda_{\max}}$ siendo $\lambda_{\max}$ el mayor valor … Sigue leyendo

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