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Espacios normados de dimensión finita
En el siguiente problema demostramos propiedades de los espacios normados de dimensión finita. Enunciado 1. Demostrar que todos los espacios normados $\left(E,\left\|\;\right\|_E\right)$ de dimensión finita dada $n$ sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K=\mathbb{R}}$ o $\mathbb{K=\mathbb{C}}$), son homeomorfos. 2. Sean $E$ y … Sigue leyendo
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Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados
Estudiamos las aplicaciones lineales continuas entre espacios normados. Enunciado 1. Sean $E$ y $F$ espacios normados y $f:E\to F$ lineal. Demostrar que si $f$ es continua en un puntto $a\in E,$ entonces es uniformemente continua en $E.$ 2. Sean $E$ … Sigue leyendo
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Propiedades topológicas en los espacios normados
En este problema analizamos algunas propiedades topológicas de los espacios normados. Enunciado 1. Sean $E$ y $F$ espacios normados. Se dice que la aplicación $f:E\to F$ es Lipschitziana si existe una constante $k>0$ tal que $$ \left\|f(x)-f(y)\right\|\leq k \left\|x-y\right\|$$ para … Sigue leyendo
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Series en espacios normados
Estudiamos algunas propiedades de las series en espacios normados. Enunciado Sea $\sum_{n\geq 0}x_n$ una serie convergente en un espacio normado $E.$ Demostrar que $x_n\to 0.$ Dar un contraejemplo que demuestre que el recíproco no es cierto. (Álgebra de series). Sean … Sigue leyendo
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