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Integración de funciones trigonométricas (2)

Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int\tan^{4}x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int\tan^{5}x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int\cot^{4}x\;dx.$ Calcular $I=\displaystyle\int\tan^{2}7x\;dx.$ Solución Tenemos: $$I=\int \tan^4x\;dx=\int \tan^{2}x\;\tan^2x\;dx=\int\tan^{2}x\;(\sec^2x-1)\;dx$$ $$=\int\tan^{2}x\;\sec^2x\;dx-\int\tan^{2}x\;dx.$$ Efectuando el cambio $t=\tan x,$ $dt=\sec^2x,$ por tanto $$\int\tan^{2}x\;\sec^2x\;dx=\int t^2dt=\frac{t^3}{3}+C=\frac{\tan^3x}{3}+C.$$ Por otra parte: $$\int \tan^{2}x\;dx=\int(\sec^2x-1)\;dx=\tan x-x+C.$$ En consecuencia, $$I=\frac{\tan^3x}{3}-\tan x+x+C.$$ Tenemos: $$I=\int \tan^5x\;dx=\int \tan^{3}x\;\tan^2x\;dx=\int\tan^{3}x\;(\sec^2x-1)\;dx$$ $$=\int\tan^{3}x\;\sec^2x\;dx-\int\tan^{3}x\;dx.$$ … Sigue leyendo

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