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Polinomios de Chebyshev y número algebraico

RESUMEN. Usando los polinomios de Chebyshev demostramos que un número es algebraico. Enunciado (1) Los polinomios de Chebyshev $T_n(x)$ se definen mediante: $$T_0(x) = 1,\; T_1(x) = x,\; T_{n+2}(x) = 2xT_{n+1}(x) – T_{n}(x).$$ Demostrar que se verifica $T_n(\cos \theta)=\cos n\theta$ … Sigue leyendo

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El número e es trascendente

Demostramos que el número $e$ es trascendente. Teorema Demostrar que el número real $e$ es trascendente sobre $\mathbb{Q}$, es decir que no existe $p\in\mathbb{Q}[x]$ no nulo tal que $p(e)=0$. Demostración Sea $f\in\mathbb{R}[x]$ de grado $r$ y sea $$F(x)=f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)+\cdots+f^{(r)}(x).$$ Hallemos la … Sigue leyendo

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Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral

Expresamos el número combinatorio $\binom{2n}{n}$ en términos de una integral definida. Enunciado Para todo entero positivo $n$, demostrar la relación $$\displaystyle\binom{2n}{n}=\frac{2^{2n}}{(2n+1)\int_0^1(1-x^2)^ndx}.$$ Solución Integrando por partes con $u=(1-x^2)^n$ y $dv=dx$ tenemos $$\int_0^1(1-x^2)^ndx =\left[ x(1-x^2)^n\right]_0^1+2n\int_0^1x^2(1-x^2)^{n-1}dx$$ $$=0-2n\int_0^1(1-x^2-1)(1-x^2)^{n-1}dx$$ $$=-2n\int_0^1(1-x^2)^ndx+2n\int_0^1(1-x^2)^{n-1}dx.$$Obtenemos por tanto la relación $$\int_0^1(1-x^2)^ndx=\frac{2n}{2n+1}\int_0^1(1-x^2)^{n-1}dx.$$ … Sigue leyendo

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Raíz cuadrada de un número complejo

Demostramos una fórmula general para hallar la raíz cuadrada de un número complejo. Enunciado Siendo $a,b\in\mathbb{R},$ calcular $\sqrt{a+bi}$ expresando el resultado en forma binómica. Solución Para $x,y\in\mathbb{R},$ tenemos las equivalencias $$\sqrt{a+bi}=x+yi\Leftrightarrow (x+yi)^2=a+bi\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi=a+bi$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-y^2=a\\& … Sigue leyendo

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Número e y exponencial de una matriz

Se define la exponencial de una matriz como generalización de la exponencial real. Enunciado En la Enseñanza Media se define el número $e$ como el límite: $\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m,$ y de manera más general resulta ser $e^a=\displaystyle\lim_{m \to \infty}\left(1+\frac{1}{m}a\right)^m,$ donde … Sigue leyendo

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Desigualdad y número de raíces

Relacionamos una desigualdad con el número de ceros de una función. Enunciado Demostrar la desigualdad: $$\dfrac{1}{e}\geq \dfrac{\log x}{x}\;,\quad \forall{x>0}.$$ Hallar razonadamente el número exacto de soluciones de la ecuación$$e(\log x)^2=2x.$$ (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM). … Sigue leyendo

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El número e es irracional

En este problema se demuestra la irracionalidad del número e. Enunciado Se sabe que número $e$ de Euler se define como el límite: $$e=\displaystyle\lim_{n\to{+}\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n,$$ y que dicho número se puede expresar como la suma de una serie: $$e=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}.\qquad (*)$$ … Sigue leyendo

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