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El número e es trascendente

Demostramos que el número $e$ es trascendente. Teorema Demostrar que el número real $e$ es trascendente sobre $\mathbb{Q}$, es decir que no existe $p\in\mathbb{Q}[x]$ no nulo tal que $p(e)=0$. Demostración Sea $f\in\mathbb{R}[x]$ de grado $r$ y sea $$F(x)=f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime\prime}(x)+\cdots+f^{(r)}(x).$$ Hallemos la … Sigue leyendo

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Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral

Expresamos el número combinatorio $\binom{2n}{n}$ en términos de una integral definida. Enunciado Para todo entero positivo $n$, demostrar la relación $$\displaystyle\binom{2n}{n}=\frac{2^{2n}}{(2n+1)\int_0^1(1-x^2)^ndx}.$$ Solución Integrando por partes con $u=(1-x^2)^n$ y $dv=dx$ tenemos $$\int_0^1(1-x^2)^ndx =\left[ x(1-x^2)^n\right]_0^1+2n\int_0^1x^2(1-x^2)^{n-1}dx$$ $$=0-2n\int_0^1(1-x^2-1)(1-x^2)^{n-1}dx$$ $$=-2n\int_0^1(1-x^2)^ndx+2n\int_0^1(1-x^2)^{n-1}dx.$$Obtenemos por tanto la relación $$\int_0^1(1-x^2)^ndx=\frac{2n}{2n+1}\int_0^1(1-x^2)^{n-1}dx.$$ … Sigue leyendo

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