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Dos números algebraicos

RESUMEN. Demostramos que dos números son algebraicos. Enunciado Demostrar que los siguientes números son algebraicos (a) $7+\sqrt[3]{2}$. (b) $\sqrt{3} +\sqrt{-5}$. Solución (a) Si $a=7+\sqrt[3]{2}$, entonces $a-7=\sqrt[3]{2}$ y por tanto $(a-7)^3=2.$ Es decir, $a\in\mathbb{R}$ es raíz del polinomio $p(x)=(x-7)^3-2\in \mathbb{Q}[x]$ lo … Sigue leyendo

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Máximo de una función con números combinatorios

RESUMEN. Determinamos el máximo de una función con números combinatorios. Enunciado Se considera la aplicación $$f:\{0,1,2,\ldots,n\}\to \mathbb{N},\quad f(k)={n \choose k}.$$ (a) Demostrar que si $n$ es par, $f$ tiene máximo absoluto en $k=n/2$ y que si $n$ es impar, $f$ … Sigue leyendo

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El conjunto de los números algebraicos es contable

Demostramos que el conjunto de los números algebraicos es contable. Trabajamos en la extensión de cuerpos $\mathbb{R}/\mathbb{Q}.$ Teorema. El conjunto de los números algebraicos es contable. Demostración. El conjunto $A$ de los números algebraicos se puede expresar en la forma: … Sigue leyendo

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Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni

Demostramos propiedades de los números armónicos y definimos la constante de Euler-Mascheroni Enunciado Se define el $n$-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros $n$ números naturales. Se le denota por $H_n$, es decir $$H_n= \sum_{k=1}^n … Sigue leyendo

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Números complejos: problemas diversos (2)

Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos. Enunciado Resolver la ecuación en $\mathbb{C}:\;$ $z^4+2z^3+4z^2+8z+16=0.$ Para $a,b$ números reales, calcular las sumas $$R=\cos a+\cos (a+b)+\cos (a+2b)+\cdots+\cos \left(a+(n-1)b\right),$$ $$I=\operatorname{sen}a+\operatorname{sen}(a+b)+\operatorname{sen}(a+2b)+\cdots+\operatorname{sen}\left(a+(n-1)b\right).$$ Demostrar que si $0\neq z=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta,\;(\theta\in \mathbb{R})$ y $n$ natural, entonces $$z^n+\frac{1}{z^n}=2\cos n\theta.$$ … Sigue leyendo

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Forma trigonométrica de los números complejos

En los siguientes ejercicios usamos la forma trigonométrica de los números complejos. Enunciado Expresar en forma binómica $1)\;2[\cos 135^{\text{o}}+i\operatorname{sen } 135^{\text{o}}].\quad 2)\;5[\cos (-\pi/3)+i\operatorname{sen }(-\pi/3)].$ Expresar en forma trigonométrica $3)\;\sqrt{3}-i.\quad 4)\;-1+i.\quad 5)\;-4-4\sqrt{3}i.\quad 6)\;-3i.$ Calcular las siguientes potencias expresando el resultado en … Sigue leyendo

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Números complejos: problemas diversos (1)

Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos. Enunciado Sea $D=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left|z\right|>1\right\}.$ Demostrar que para todo $w_1,w_2\in D$ se verifica $$\left|\dfrac{w_1 – w_2 }{1-\overline{w_ 1 }w_ 2 }\right|<1 .$$ Demostrar que $\left|(1+i)z^3 +iz\right|<3/4$ si $\left|z\right|<1/2.$ Usando la forma trigonométrica de … Sigue leyendo

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Cuerpo de los números complejos

Demostramos que el conjunto de los números complejos es un cuerpo con las operaciones habituales. Enunciado Demostrar que $\left(\mathbb{C},+,\cdot\right)$ es cuerpo, siendo $+$ y $\cdot$ las operaciones habituales en $\mathbb{C}.$ Solución $a)$  $\left(\mathbb{C},+\right)$ es grupo abeliano. En efecto, $1.$  Interna. … Sigue leyendo

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Operaciones con números complejos

Proporcionamos ejercicios de operaciones con números complejos. Enunciado Expresar en forma binómica cada uno de los siguientes números complejos: $$a)\;\frac{3-2i}{1+4i}.\;\;b)\;i^{23}.\;\;c)\;\frac{1}{z}.\;\;d)\;\frac{z-1}{z+1}.\;\;e)\;(1-2i)^4.\;\;f)\;\sqrt{3-4i}.$$ Resolver en $\mathbb{C}$ la ecuación $z^2-(2+i)z-1+7i=0.$ Determinar todos los números complejos que son conjugados con su cubo. $a)$ Demostrar que … Sigue leyendo

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Infinitud de los números primos, demostración topológica

Desarrollamos la demostración de Furstenberg de la infinitud de los números primos basada en ideas topológicas. Teorema Existen infinitos números primos. Demostración Para cada $a,b$ números enteros con $b\neq 0$ consideramos el subconjunto de $\mathbb{Z}:$ $$a+b\;\mathbb{Z}=\{\;\ldots\;,\;a-2b\;,\;a-b\;,\;a\;,\;a+b\;,\;a+2b\;,\;\ldots\;\},$$ y la clase $\mathcal{B}$ … Sigue leyendo

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