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Archivo de la etiqueta: números
Dos números algebraicos
RESUMEN. Demostramos que dos números son algebraicos. Enunciado Demostrar que los siguientes números son algebraicos (a) $7+\sqrt[3]{2}$. (b) $\sqrt{3} +\sqrt{-5}$. Solución (a) Si $a=7+\sqrt[3]{2}$, entonces $a-7=\sqrt[3]{2}$ y por tanto $(a-7)^3=2.$ Es decir, $a\in\mathbb{R}$ es raíz del polinomio $p(x)=(x-7)^3-2\in \mathbb{Q}[x]$ lo … Sigue leyendo
Máximo de una función con números combinatorios
RESUMEN. Determinamos el máximo de una función con números combinatorios. Enunciado Se considera la aplicación $$f:\{0,1,2,\ldots,n\}\to \mathbb{N},\quad f(k)={n \choose k}.$$ (a) Demostrar que si $n$ es par, $f$ tiene máximo absoluto en $k=n/2$ y que si $n$ es impar, $f$ … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado combinatorios, máximo, números
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El conjunto de los números algebraicos es contable
Demostramos que el conjunto de los números algebraicos es contable. Trabajamos en la extensión de cuerpos $\mathbb{R}/\mathbb{Q}.$ Teorema. El conjunto de los números algebraicos es contable. Demostración. El conjunto $A$ de los números algebraicos se puede expresar en la forma: … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado algebraicos, conjuntos, contable, números
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Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni
Demostramos propiedades de los números armónicos y definimos la constante de Euler-Mascheroni Enunciado Se define el $n$-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros $n$ números naturales. Se le denota por $H_n$, es decir $$H_n= \sum_{k=1}^n … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado armónicos, constante, Euler-Mascheroni, números
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Números complejos: problemas diversos (2)
Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos. Enunciado Resolver la ecuación en $\mathbb{C}:\;$ $z^4+2z^3+4z^2+8z+16=0.$ Para $a,b$ números reales, calcular las sumas $$R=\cos a+\cos (a+b)+\cos (a+2b)+\cdots+\cos \left(a+(n-1)b\right),$$ $$I=\operatorname{sen}a+\operatorname{sen}(a+b)+\operatorname{sen}(a+2b)+\cdots+\operatorname{sen}\left(a+(n-1)b\right).$$ Demostrar que si $0\neq z=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta,\;(\theta\in \mathbb{R})$ y $n$ natural, entonces $$z^n+\frac{1}{z^n}=2\cos n\theta.$$ … Sigue leyendo
Forma trigonométrica de los números complejos
En los siguientes ejercicios usamos la forma trigonométrica de los números complejos. Enunciado Expresar en forma binómica $1)\;2[\cos 135^{\text{o}}+i\operatorname{sen } 135^{\text{o}}].\quad 2)\;5[\cos (-\pi/3)+i\operatorname{sen }(-\pi/3)].$ Expresar en forma trigonométrica $3)\;\sqrt{3}-i.\quad 4)\;-1+i.\quad 5)\;-4-4\sqrt{3}i.\quad 6)\;-3i.$ Calcular las siguientes potencias expresando el resultado en … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado complejos, forma, números, trigonométrica
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Números complejos: problemas diversos (1)
Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos. Enunciado Sea $D=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left|z\right|>1\right\}.$ Demostrar que para todo $w_1,w_2\in D$ se verifica $$\left|\dfrac{w_1 – w_2 }{1-\overline{w_ 1 }w_ 2 }\right|<1 .$$ Demostrar que $\left|(1+i)z^3 +iz\right|<3/4$ si $\left|z\right|<1/2.$ Usando la forma trigonométrica de … Sigue leyendo
Cuerpo de los números complejos
Demostramos que el conjunto de los números complejos es un cuerpo con las operaciones habituales. Enunciado Demostrar que $\left(\mathbb{C},+,\cdot\right)$ es cuerpo, siendo $+$ y $\cdot$ las operaciones habituales en $\mathbb{C}.$ Solución $a)$ $\left(\mathbb{C},+\right)$ es grupo abeliano. En efecto, $1.$ Interna. … Sigue leyendo
Operaciones con números complejos
Proporcionamos ejercicios de operaciones con números complejos. Enunciado Expresar en forma binómica cada uno de los siguientes números complejos: $$a)\;\frac{3-2i}{1+4i}.\;\;b)\;i^{23}.\;\;c)\;\frac{1}{z}.\;\;d)\;\frac{z-1}{z+1}.\;\;e)\;(1-2i)^4.\;\;f)\;\sqrt{3-4i}.$$ Resolver en $\mathbb{C}$ la ecuación $z^2-(2+i)z-1+7i=0.$ Determinar todos los números complejos que son conjugados con su cubo. $a)$ Demostrar que … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado complejos, números, operaciones
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Infinitud de los números primos, demostración topológica
Desarrollamos la demostración de Furstenberg de la infinitud de los números primos basada en ideas topológicas. Teorema Existen infinitos números primos. Demostración Para cada $a,b$ números enteros con $b\neq 0$ consideramos el subconjunto de $\mathbb{Z}:$ $$a+b\;\mathbb{Z}=\{\;\ldots\;,\;a-2b\;,\;a-b\;,\;a\;,\;a+b\;,\;a+2b\;,\;\ldots\;\},$$ y la clase $\mathcal{B}$ … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado demostración, Infinitud, números, primos, topológica
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