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Dos números algebraicos

RESUMEN. Demostramos que dos números son algebraicos. Enunciado Demostrar que los siguientes números son algebraicos (a) $7+\sqrt[3]{2}$. (b) $\sqrt{3} +\sqrt{-5}$. Solución (a) Si $a=7+\sqrt[3]{2}$, entonces $a-7=\sqrt[3]{2}$ y por tanto $(a-7)^3=2.$ Es decir, $a\in\mathbb{R}$ es raíz del polinomio $p(x)=(x-7)^3-2\in \mathbb{Q}[x]$ lo … Sigue leyendo

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Máximo de una función con números combinatorios

RESUMEN. Determinamos el máximo de una función con números combinatorios. Enunciado Se considera la aplicación $$f:\{0,1,2,\ldots,n\}\to \mathbb{N},\quad f(k)={n \choose k}.$$ (a) Demostrar que si $n$ es par, $f$ tiene máximo absoluto en $k=n/2$ y que si $n$ es impar, $f$ … Sigue leyendo

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El conjunto de los números algebraicos es contable

Demostramos que el conjunto de los números algebraicos es contable. Trabajamos en la extensión de cuerpos $\mathbb{R}/\mathbb{Q}.$ Teorema. El conjunto de los números algebraicos es contable. Demostración. El conjunto $A$ de los números algebraicos se puede expresar en la forma: … Sigue leyendo

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Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni

Demostramos propiedades de los números armónicos y definimos la constante de Euler-Mascheroni Enunciado Se define el $n$-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros $n$ números naturales. Se le denota por $H_n$, es decir $$H_n= \sum_{k=1}^n … Sigue leyendo

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Números complejos: problemas diversos (2)

Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos. Enunciado Resolver la ecuación en $\mathbb{C}:\;$ $z^4+2z^3+4z^2+8z+16=0.$ Para $a,b$ números reales, calcular las sumas $$R=\cos a+\cos (a+b)+\cos (a+2b)+\cdots+\cos \left(a+(n-1)b\right),$$ $$I=\operatorname{sen}a+\operatorname{sen}(a+b)+\operatorname{sen}(a+2b)+\cdots+\operatorname{sen}\left(a+(n-1)b\right).$$ Demostrar que si $0\neq z=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta,\;(\theta\in \mathbb{R})$ y $n$ natural, entonces $$z^n+\frac{1}{z^n}=2\cos n\theta.$$ … Sigue leyendo

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