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Números complejos: problemas diversos (2)

Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos. Enunciado Resolver la ecuación en $\mathbb{C}:\;$ $z^4+2z^3+4z^2+8z+16=0.$ Para $a,b$ números reales, calcular las sumas $$R=\cos a+\cos (a+b)+\cos (a+2b)+\cdots+\cos \left(a+(n-1)b\right),$$ $$I=\operatorname{sen}a+\operatorname{sen}(a+b)+\operatorname{sen}(a+2b)+\cdots+\operatorname{sen}\left(a+(n-1)b\right).$$ Demostrar que si $0\neq z=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta,\;(\theta\in \mathbb{R})$ y $n$ natural, entonces $$z^n+\frac{1}{z^n}=2\cos n\theta.$$ … Sigue leyendo

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Forma trigonométrica de los números complejos

En los siguientes ejercicios usamos la forma trigonométrica de los números complejos. Enunciado Expresar en forma binómica $1)\;2[\cos 135^{\text{o}}+i\operatorname{sen } 135^{\text{o}}].\quad 2)\;5[\cos (-\pi/3)+i\operatorname{sen }(-\pi/3)].$ Expresar en forma trigonométrica $3)\;\sqrt{3}-i.\quad 4)\;-1+i.\quad 5)\;-4-4\sqrt{3}i.\quad 6)\;-3i.$ Calcular las siguientes potencias expresando el resultado en … Sigue leyendo

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Números complejos: problemas diversos (1)

Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos. Enunciado Sea $D=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left|z\right|>1\right\}.$ Demostrar que para todo $w_1,w_2\in D$ se verifica $$\left|\dfrac{w_1 – w_2 }{1-\overline{w_ 1 }w_ 2 }\right|<1 .$$ Demostrar que $\left|(1+i)z^3 +iz\right|<3/4$ si $\left|z\right|<1/2.$ Usando la forma trigonométrica de … Sigue leyendo

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Cuerpo de los números complejos

Demostramos que el conjunto de los números complejos es un cuerpo con las operaciones habituales. Enunciado Demostrar que $\left(\mathbb{C},+,\cdot\right)$ es cuerpo, siendo $+$ y $\cdot$ las operaciones habituales en $\mathbb{C}.$ Solución $a)$  $\left(\mathbb{C},+\right)$ es grupo abeliano. En efecto, $1.$  Interna. … Sigue leyendo

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Operaciones con números complejos

Proporcionamos ejercicios de operaciones con números complejos. Enunciado Expresar en forma binómica cada uno de los siguientes números complejos: $$a)\;\frac{3-2i}{1+4i}.\;\;b)\;i^{23}.\;\;c)\;\frac{1}{z}.\;\;d)\;\frac{z-1}{z+1}.\;\;e)\;(1-2i)^4.\;\;f)\;\sqrt{3-4i}.$$ Resolver en $\mathbb{C}$ la ecuación $z^2-(2+i)z-1+7i=0.$ Determinar todos los números complejos que son conjugados con su cubo. $a)$ Demostrar que … Sigue leyendo

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