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Archivo de la etiqueta: operador
Operador de Sturm-Liouville
Estudiamos el operador de Sturm-Liouville. Enunciado Sea $C[a,b]$ el espacio vectorial de las funciones reales continuas en $[a,b]$ y $p\in C[a,b]$ fijo. Sea $C^2[a,b]$ el espacio vectorial de las funciones reales de clase $2$ en $[a,b]$. Se define el conjunto: … Sigue leyendo
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Un operador autoadjunto y unitario
Proporcionamos un ejemplo de operador autoadjunto y unitario. Enunciado Sea $V$ un espacio vectorial complejo de dimensión finita dotado de un producto escalar $\langle \;, \rangle$ y sea $W$ un subespacio de $V.$ Se considera la aplicación $$T:V\to V,\quad T(v)=w-w’,$$ … Sigue leyendo
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Polinomios de Legendre y operador simétrico
Respecto de una base formada por polinomios de Legendre, determinamos la matriz diagonal de un operador simétrico. Enunciado En el espacio vectorial $E=\mathbb{R}_n[x]$ de los polinomios reales de grado $\le n$ se define la aplicación $$T:E\to E,\quad T(f)=\left(pf’\right)’\text{ con }p(x)=x^2-1.$$ … Sigue leyendo
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Operador simétrico, teorema espectral
Proporcionamos ejercicios sobre el operador simétrico y el teorema espectral. Enunciado En el espacio euclídeo $\left(\mathbb{R}^3,\langle \;,\;\rangle\right)$ donde $\langle \;,\;\rangle$ representa el producto escalar usual, se considera $T\in\text{End}\left(\mathbb{R}^3\right)$ dado por: $$T(x,y,z)=(x+4y+8z,\;4x+16y+32z,\:8x+32y+64z).$$ Demostrar que $T$ es simétrico. En $\mathbb{R}^2$ con el … Sigue leyendo
Operador ortogonal
Proporcionamos ejercicios sobre el operador ortogonal. Enunciado Comprobar que en $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar usual, el siguiente operador es ortogonal $$T\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}{2}&{-2}&{1}\\{2}&{1}&{-2}\\{1}&{2}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}.$$ Demostrar que si $\lambda$ es valor propio de un operador ortogonal $T$ en un espacio euclídeo $E,$ entonces … Sigue leyendo
