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Derivación paramétrica y límite

Enunciado 1. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{x^2+t^2}\quad (x>0).$ 2. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{(x^2+t^2)^{n+1}}.$ Indicación: derivar la integral respecto de un parámetro y razonar por inducción. 3. Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^n}.$ 4. Como aplicación de lo anterior, calcular el límite: $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2n-3)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2n-2)}\cdot \sqrt{n}.$$ … Sigue leyendo

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Una integral por derivación paramétrica (2)

Enunciado Calcular $\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{1}{(5-3\cos x)^3}\;dx$. Sugerencia: Para adecuados valores de $\lambda$ considérese: $I(\lambda)=\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{1}{\lambda-3\cos x}\;dx$ Solución Consideremos $D=[0,\pi]\times (3,+\infty)$ y la función $f:D\to \mathbb{R},\quad f(x,\lambda)=\dfrac{1}{\lambda -3 \cos x}.$ Claramente $\lambda -3\cos x\neq 0$ para todo $(x,\lambda)\in D$ y $f\in \mathcal{C}^{\infty}(D)$. Por otra … Sigue leyendo

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