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Archivo de la etiqueta: polinomio
Polinomio que genera primos
Demostramos que si un polinomio con coeficientes enteros proporciona primos a partir de un número natural, el polinomio ha de ser constante. Teorema (Goldbach 1752) Sea $f\in\mathbb{Z}[x]$ tal que $f(n)$ es primo para todo $n\ge 0$ natural. Entonces, $f$ es … Sigue leyendo
Polinomio mínimo de un elemento algebraico
Definimos el concepto de polinomio mínimo de un elemento algebraico y estudiamos alguna de sus propiedades. Definición Sea $K/k$ una extensión de cuerpos y $\alpha\in K$ algebraico sobre $k.$ Sea $p(x)=x^\nu+\ldots +a_1x+a_0\in k[x]$ el polinomio de menor grado y mónico … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado algebraico, elemento, mínimo, polinomio
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Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en $\mathbb{K}[x]$
Enunciamos y demostramos condiciones suficientes para que polinomios de grado menor o igual que $3$ sean irreducibles sobre un cuerpo genérico $\mathbb{K}$. Enunciado Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $p(x)\in \mathbb{K}[x].$ Demostrar que si $\text{grado }p(x)=1$, entonces $p(x)$ es irreducible. Demostrar … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado $mathbb{K}[x]$, condiciones, irreducible, polinomio, suficientes
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Polinomio de Motzkin
Demostramos que existe un polinomio en $\mathbb{R}[X,Y]$ (polinomio de Motzkin) que toma valores no negativos en $\mathbb{R}^2$ y que no es suma de cuadrados de elementos de $\mathbb{R}[X,Y].$ Enunciado Se llama polinomio de Motzkin al polinomio de $\mathbb{R}[X,Y]:$ $$s(X,Y)=X^4Y^2+X^2Y^4-3X^2Y^2+1.$$ 1. … Sigue leyendo
Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
Enunciado (a) Encontrar un polinomio $p(x)$ de tercer grado de $\mathbb{Z}[x]$ admitiendo como raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}.$ (b) Descomponer $p(x)$ en producto de factores irreducibles en $\mathbb{R}[x].$ Solución (a) Sea $p(x)=c_3x^3+c_{2}x^{2}+c_1x+c_0\in\mathbb{Z}[x]$ con $c_3\ne 0.$ Si tiene como raíz a $\alpha,$ $$c_3{\alpha}^3+c_{2}{\alpha}^{2}+c_1{\alpha}+c_0=0,$$ $$\alpha^3=-\frac{c_{2}}{c_3}\alpha^{2}-\frac{c_1}{c_3}\alpha-\frac{c_0}{c_3}=b_{2}\alpha^{2}+b_1\alpha+b_0,\quad … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado $alpha=2+sqrt[3]{3}$, $mathbb{Z}[x]$, polinomio, raíz
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