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Archivo de la etiqueta: polinomio
Transformado de un polinomio complejo
Enunciado Para cada polinomio complejo $p(z)$ se define el nuevo polinomio $p^*(z)=\overline{p(-\bar{z})}$ en donde $\bar{z}$ es el conjugado de $z.$ 1. Si $p(z)$ es un polinomio de grado $n\geq 1,$ expresar las raíces de $p^*(z)$ en términos de las raíces … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado complejo, polinomio, transformado
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Polinomio de Taylor de una solución de una ecuación diferencial
Calculamos el polinomio de Taylor de una solución de una ecuación diferencial. Enunciado Calcular el polinomio de Taylor de cuarto grado (centrado en el origen) de la solución $x(t)$ del problema de valor inicial $\begin{aligned} &x'(t)=\log (1+t+x),\\ &x(0)=0. \end{aligned}$ (Propuesto … Sigue leyendo
Publicado en Ecuaciones diferenciales
Etiquetado diferencial, ecuación, polinomio, solución, Taylor
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Función entera y polinomio
Enunciado Sea $p(z)$ un polinomio complejo y $f(z)$ una función entera de variable compleja. Se considera una curva de Jordan $\Gamma$ sobre la que no se anula el polinomio $p(z).$ Deducir la expresión de la integral $\displaystyle\int_{\Gamma}f(z)\; \dfrac{p'(z)}{p(z)}\;dz.$ mediante los … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado entera, función, polinomio
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Polinomio de Hurwitz
Enunciado Sea $p(z)\in \mathbb{C}[z].$ Se dice que $p(z)$ es un polinomio de Hurwitz si todos sus ceros tienen parte real negativa. Demostrar que si $p(z)$ es un polinomio de Hurwitz, también lo es $p'(z).$ Solución Sea $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_1z+a_0\;(a_n\neq 0)$ un polinomio … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado Hurwitz, polinomio
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Cotas de las raíces de un polinomio
En este problema, damos cotas de las raíces de un polinomio. Enunciado Sea $f(z)=a_nz^n+\ldots +a_1z+a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $a_n\neq 0$ y $c$ una raíz de $f(z)$. Demostrar que $|c|\leq M$ siendo $$M=\max\left \{\left(n\left| \frac{a_{i-1}}{a_n}\right|\right)^{1/i}:i=1,\ldots,n\right\}.$$ Solución Supongamos que $\left|z\right|>M$, entonces $$\left|z\right|>\left(n\left|\dfrac{a_{i-1}}{a_n}\right|\right)^{\frac{1}{i}}\;(\forall i=1,\ldots,n)\Rightarrow \left|z\right|^i>n\dfrac{\left|a_{i-1}\right|}{\left|a_n\right|}\;\;(\forall … Sigue leyendo
