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Archivo de la etiqueta: potencias
Serie de Taylor por división en potencias crecientes
RESUMEN. Usamos la división en potencias crecientes para estudiar una serie de Taylor. Enunciado Se considera la función de variable compleja $$f\left(z\right)=\dfrac{z^2}{\left(\sin^2 z\right)\cos z}.$$ (a) Hallar sus singularidades. (b) Demostrar que $z=0$ es singularidad evitable de $f.$ (c) Determinar el … Sigue leyendo
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Ecuación diferencial por serie de potencias
Proporcionamos un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial por serie de potencias. Enunciado Se considera la ecuación diferencial $y^{\prime\prime}(x)+y(x)=x.$ Sea $y(x)$ solución de la ecuación que se puede expresar como suma de una serie entera convergente en $\mathbb{R}.$ Determinar … Sigue leyendo
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Teorema de Pitagoras trigonométrico por series de potencias
Enunciado Usando los desarrollos en serie de potencias, demostrar el teorema de Pitágoras trigonométrico en $\mathbb{C},$ es decir $$\text{sen }^2 z+\cos^2z=1,\quad \forall z\in \mathbb{C}.$$ Solución Sabemos que para todo $z\in\mathbb{C}$ se verifica $$\text{sen } z = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n … Sigue leyendo
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Series enteras o de potencias, radio de convergencia
Enunciado Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nx^n.$ Demostrar que si converge para $x=x_0\neq 0,$ entonces converge para todo $x$ tal que $\left |x\right|<\left| x_0\right|.$ Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nx^n.$ Demostrar que existe un único $R\in [0,+\infty]$ tal que: $i)\;$ … Sigue leyendo
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Recurrente compleja por serie de potencias
Enunciado 1. Los términos de una sucesión $(a_n)$ de números complejos satisfacen la relación de recurrencia de segundo orden $4a_{n+2}+4a_{n+1}+a_n=0$. Encontrar una acotación de la forma $|a_n|\leq MK^n$. 2. Demostrar que la serie de potencias $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ tiene su radio de … Sigue leyendo
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