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Archivo de la etiqueta: prehilbertianos
Teorema de Pitágoras en espacios prehilbertianos
RESUMEN. Demostramos el teorema de Pitágoras y su generalización en espacios prehilbertianos. Teorema (de Pitágoras en espacios prehilbertianos) Sea $E$ un espacio prehilbertiano. Entonces, (1) Si $x,y\in E$ son vectores ortogonales se verifica $$\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2.$$ (2) Más general, si $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\subset E$ … Sigue leyendo
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Funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos
RESUMEN. Estudiamos algunas funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos. Enunciado Sea $P$ un espacio prehilbertiano. Demostrar que para todo $y\in P$ las aplicaciones de $P$ en $\mathbb{K}:$ $$(a)\;F_y(x)=\langle x,y\rangle.\quad (b)\;G_y(x)=\langle y,x\rangle.\quad (c)\; N(x)=\|x\|.$$ son uniformemente continuas. Solución $(a)$ Si $y=0,$ … Sigue leyendo
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Ley del paralelogramo en espacios prehilbertianos
RESUMEN. Demostramos la ley del paralelogramo en espacios prehilbertianos. Enunciado Demostrar que en todo espacio prehilbertiano $P$ se verifica la ley del paralelogramo: $$\| x+y\|^2+\| x-y\|^2=2\| x\|^2+2\|y\|^2,\quad \forall x,y\in P.$$ Interpretar geométricamente el resultado en $P=\mathbb{R}^2$. Solución Tenemos $$\| x+y\|^2=\langle … Sigue leyendo
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Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos
Demostramos la desigualdad de Schwarz en espacios prehilbertianos y las propiedades de la norma. Enunciado Sea $P$ un espacio prehilbertiano, es decir un espacio vectorial complejo con producto escalar. Para todo $x\in P$ se define la norma (o longitud) de … Sigue leyendo
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