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Propiedades de la dimensión

En los siguientes ejercicos aplicamos propiedades de la dimensión. Enunciado Demostrar que los siguientes vectores forman base de $\mathbb{R}^4$ $$(2,1,0,1),\;(0,1,2,2),\;(-2,1,1,2),\;(1,3,1,2).$$ Sean $E_1$ y $E_2$ subespacios de $E$ tales que $\dim E_1=4,$ $\dim E_2=5$ y $\dim E=7.$ Se pide hallar la … Sigue leyendo

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Primeras propiedades de los valores y vectores propios

Proporcionamos ejercicios sobre las primeras propiedades de los valores y vectores propios. Enunciado Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ de dimensión finita $n$ y $f:E\to E$ un endomorfismo. Demostrar que si $B$ es una base de $E$ formada … Sigue leyendo

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Tres propiedades de la matriz exponencial

Demostramos tres propiedades de la matriz exponencial. Enunciado Demostrar que si $e^{tA}=e^{tB}$ para todo $t$ entonces es $A=B.$ Demostrar que si $A$ es simétrica ($A^T=A$) entonces $e^{tA}$ es simétrica para todo $t.$ Enunciar el recíproco y estudiar su validez. Demostrar … Sigue leyendo

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Primeras propiedades de los espacios vectoriales

Proporcionamos ejercicios sobre las primeras propiedades de los espacios vectoriales. Enunciado Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Demostrar que para todo $\lambda\in \mathbb{K}$ y para todo $x\in E:$ $(a)\; 0x=0.\quad (b)\;\lambda 0=0.\quad (c)\;\lambda x=0\Rightarrow (\lambda=0\text{ ó }x=0). $ … Sigue leyendo

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Traza de una matriz, propiedades

Demostramos propiedades de la traza de una matriz. Enunciado Sea $A=[a_{ij}]\in M_n(\mathbb{K}).$ Se llama traza de $A$ y se representa por $\operatorname{tr}A,$ a la suma de los elementos de la diagonal principal de $A,$ es decir: $$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}.$$ Demostrar que para … Sigue leyendo

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