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Puntos críticos con caso dudoso

RESUMEN. Determinamos y clasificamos los puntos críticos de una función con un caso dudoso. Enunciado Calcular y clasificar los puntos críticos de la función $$f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\quad f(x,y)=2x^4+3y^4- 4x^2y^3.$$ Solución Derivadas parciales primeras: $$\frac{\partial f}{\partial x}=8x^3-8xy^3, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=12y^2-12x^2y^2.$$ Puntos … Sigue leyendo

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Separación de puntos y espacio de Hausdorff

Demostramos una condición suficiente para que un espacio sea de Hausdorff en términos de separación de puntos. Definición. Sea $\mathscr{F}=\{f_i:X\to Y:i\in I\}$ una familia de aplicaciones entre los conjuntos $X$ e $Y.$ Se dice que $\mathscr{F}$ separa puntos si para … Sigue leyendo

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Puntos de inflexión de una familia de curvas

Enunciado Sea el conjunto de funciones $f_a(x)=\dfrac{x^3+a}{(x+1)^2},$ donde $a\in\mathbb{R}-\{1\}.$ (a) Determinar las funciones de este conjunto cuya representación gráfica admite un punto de inflexión en el cual la tangente es paralela al eje de abscisas. (b) Probar que todas las … Sigue leyendo

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Puntos críticos de $ f(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k $

Enunciado Dibujar en el plano el dominio de la función escalar $$f(x,y)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k.$$ Hallar y clasificar los puntos críticos de $f.$ (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución La serie dada es una serie geométrica de razón … Sigue leyendo

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Puntos atraídos por el origen en un sistema diferencial

Enunciado Determinar los puntos $M(a,b,c)$ que son atraídos por el origen (cuanto $t\to +\infty$) en el sistema diferencial $X’=AX.$ $A=\begin{bmatrix}{0}&{2}&{3}\\{2}&{1}&{2}\\{3}&{2}&{0}\end{bmatrix}\;.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Hallemos los valores propios de $A.$ Restando a … Sigue leyendo

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Puntos de discontinuidad, compacidad

Enunciado Se considera la función $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{x}{4x^2+y^2-1} & \mbox{ si }& 4x^2+y^2\neq 1\;\wedge\;(x,y)\neq (0,0)\\1 & \mbox{si}& 4x^2+y^2=1\;\vee\;(x,y)=(0,0).\end{matrix}\right.$$ Estudiar la continuidad de $f$ en $\mathbb{R}^2.$ Probar que el conjunto de los puntos de discontinuidad de $f$ es … Sigue leyendo

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Puntos críticos, casos dudosos

Estudiamos dos casos dudosos de puntos críticos. Enunciado Analizar el carácter del punto singular $(0,0)$ para la función: $$f(x,y)=y^2-3x^2y+2x^4.$$ Dada la función $f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+axy-2y^2$, analizar el carácter del punto crítico $(0,0)$ según los valores de $a\in\mathbb{R}$. (Propuestos en examen, Cálculo, ETS … Sigue leyendo

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Puntos críticos de $g(x,y)=p(f(x))+p(f(y))$

Enunciado Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función derivable tal que $f'(x)>0\;\;\forall{x}\in \mathbb{R}.$ Supongamos que $\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)=+\infty}$ y $\lim_{x \to{-}\infty}{f(x)=0}.$ Demostrar que $f(x)>0\;\;\forall{x}\in \mathbb{R}$ y que dado $b>0$ existe un único $a\in \mathbb{R}$ tal que $f(a)=b.$ Sea $p(x)$ un polinomio de grado … Sigue leyendo

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Límite de sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}$

Como aplicación de la teoría de valores y vectores propios, calculamos el límite de una sucesión de puntos diagonalizando en $\mathbb{C}$ Enunciado Se consideran tres puntos $p_1,p_2,p_3$ sobre la recta real y se construye una sucesión del siguiente modo: $p_4$ … Sigue leyendo

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