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Enunciado Calcular $\displaystyle\int \frac{dx}{x^3-1}.$ Calcular $I=\displaystyle\int \frac{x\;dx}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}.$ Solución El denominador tiene la raíz $x=1.$ Aplicando la regla de Ruffini, obtenemos $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),$ y el polinomio $x^2+x+1$ no tiene raíces reales. La descomposición en suma de fracciones simples es:$$\begin{aligned}&\frac{1}{x^3-1}=\frac{1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}\\ &=\frac{A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}.\end{aligned}$$ Igualando numeradores … Sigue leyendo →

Enunciado Calcular $\displaystyle\int \dfrac{dx}{3x^2-x+1}.$ Calcular $\displaystyle\int\frac{4x-5}{3x^2-x+1}dx.$ Sea el trinomio $ax^2+bx+c\;(a>0).$ Demostrar que si dicho trinomio no tiene raíces reales, entonces $$\displaystyle\int\dfrac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan \dfrac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C.$$ Solución El denominador no tiene raíces. Completemos cuadrados: $$3x^2-x+1=3(x+k)^2+l=3x^2+6kx+3k^2+l.$$ Identificando coeficientes, $3=3,$ $6k=-1,$ $3k^2+l=1.$ Resolviendo, queda $k=-1/6$ y … Sigue leyendo →

Enunciado Calcular $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2-5x+6}.$ Calcular $\displaystyle\int \dfrac{x^3\;dx}{x^3-2x^2-x+2}.$ Calcular $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^4-x^3}.$ Calcular $\displaystyle\int \dfrac{(x+1)\;dx}{(x^2+x-2)^2}.$ Solución Las raíces del polinomio $x^2-5x+6$ son $x=2$ y $x=3,$ por tanto $x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$ Tenemos:$$\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}=\dfrac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}.$$ Igualando numeradores y dando a $x$ los valores $x=2$ y $x=3,$ obtenemos $A=-1$ … Sigue leyendo →