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Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$

Enunciado (a)  Encontrar un polinomio $p(x)$ de tercer grado de $\mathbb{Z}[x]$ admitiendo como raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}.$ (b)  Descomponer  $p(x)$ en producto de factores irreducibles en $\mathbb{R}[x].$ Solución (a)  Sea $p(x)=c_3x^3+c_{2}x^{2}+c_1x+c_0\in\mathbb{Z}[x]$ con $c_3\ne 0.$ Si tiene como raíz a $\alpha,$ $$c_3{\alpha}^3+c_{2}{\alpha}^{2}+c_1{\alpha}+c_0=0,$$ $$\alpha^3=-\frac{c_{2}}{c_3}\alpha^{2}-\frac{c_1}{c_3}\alpha-\frac{c_0}{c_3}=b_{2}\alpha^{2}+b_1\alpha+b_0,\quad … Sigue leyendo

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Raíz cuadrada de un número complejo

Demostramos una fórmula general para hallar la raíz cuadrada de un número complejo. Enunciado Siendo $a,b\in\mathbb{R},$ calcular $\sqrt{a+bi}$ expresando el resultado en forma binómica. Solución Para $x,y\in\mathbb{R},$ tenemos las equivalencias $$\sqrt{a+bi}=x+yi\Leftrightarrow (x+yi)^2=a+bi\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi=a+bi$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-y^2=a\\& … Sigue leyendo

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