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Archivo de la etiqueta: raíz
Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
Enunciado (a) Encontrar un polinomio $p(x)$ de tercer grado de $\mathbb{Z}[x]$ admitiendo como raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}.$ (b) Descomponer $p(x)$ en producto de factores irreducibles en $\mathbb{R}[x].$ Solución (a) Sea $p(x)=c_3x^3+c_{2}x^{2}+c_1x+c_0\in\mathbb{Z}[x]$ con $c_3\ne 0.$ Si tiene como raíz a $\alpha,$ $$c_3{\alpha}^3+c_{2}{\alpha}^{2}+c_1{\alpha}+c_0=0,$$ $$\alpha^3=-\frac{c_{2}}{c_3}\alpha^{2}-\frac{c_1}{c_3}\alpha-\frac{c_0}{c_3}=b_{2}\alpha^{2}+b_1\alpha+b_0,\quad … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado $alpha=2+sqrt[3]{3}$, $mathbb{Z}[x]$, polinomio, raíz
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Raíz cuadrada de un número complejo
Demostramos una fórmula general para hallar la raíz cuadrada de un número complejo. Enunciado Siendo $a,b\in\mathbb{R},$ calcular $\sqrt{a+bi}$ expresando el resultado en forma binómica. Solución Para $x,y\in\mathbb{R},$ tenemos las equivalencias $$\sqrt{a+bi}=x+yi\Leftrightarrow (x+yi)^2=a+bi\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi=a+bi$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-y^2=a\\& … Sigue leyendo
Criterios de la raíz, cociente y Raabe
Proporcionamos ejercicios sobre los criterios de la raíz, cociente y Raabe. Enunciado Usando el criterio de la raíz, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos: $1)\;\displaystyle\sum \left(\frac{n+1}{2n-1}\right)^n.\quad 2)\;\displaystyle\sum \left(\frac{3n-1}{2n+1}\right)^{n+2}.\quad3)\;\sum \frac{1}{n}.$ Usando el criterio del cociente, analizar el … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado cociente, Raabe, raíz, riterios
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Raíz cuádruple según parámetros
Determinamos las condiciones que han de cumplir los parámetros de un polinomio para que admita una raíz cuádruple. Enunciado Determinar $m,n,p\in\mathbb{R}$ para que el polinomio $f(x)=x^6+mx^4+10x^3+nx+p$ admita una raíz cuádruple. Solución Si $x$ es una raíz cuádruple, ha de verificar … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado cuádruple, parámetros, raíz
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Una aproximación racional de la raíz de 5
Usando la fórmula de Taylor, calculamos una aproximación de $\sqrt{5}$. Enunciado Sea $f(x)=\sqrt{x}$ y $x_0>0.$ Determinar razonadamente el polinomio de Taylor de orden $n,$ en el punto $x_0$ de la función $f,$ $P_{n,f,x_0}(x)$ y su resto $R_{n,f,x_0}(x).$ Mediante una adecuada … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado 5, aproximación, racional, raíz
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