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Archivo de la etiqueta: raíz
Cálculo de una raíz de forma heurística.
RESUMEN. Calculamos $\sqrt{4444222225}$ de forma heurística. Enunciado Calcular $\sqrt{4444222225}$. Solución Tenemos $$\sqrt{4444222225}=\sqrt{4444000000+222225}=\sqrt{4444000000+222220+5}$$ $$=\sqrt{4444\cdot10^6+22222\cdot10+5}=\sqrt{4\cdot1111\cdot 10^6+2\cdot11111\cdot10+5}$$ $$=\sqrt{4\cdot\dfrac{9999}{9}\cdot 10^6+2\cdot\dfrac{99999}{9}\cdot 10+5}$$ $$=\sqrt{4\cdot\dfrac{10^4-1}{9}\cdot 10^6+2\cdot\dfrac{10^5-1}{9}\cdot 10+5}$$ $$=\sqrt{4\cdot\dfrac{(10^4-1)\cdot 10^6}{9}+2\cdot\dfrac{(10^5-1)\cdot 10}{9}+\dfrac{45}{9}}$$ $$=\sqrt{\dfrac{4(10^{10}-10^6)}{9}+\dfrac{2(10^6-10)}{9}+\dfrac{45}{9}}$$ $$=\sqrt{\dfrac{4\cdot 10^{10}-4\cdot10^6}{9}+\dfrac{2\cdot 10^6-20}{9}+\dfrac{45}{9}}$$ $$=\sqrt{\dfrac{4\cdot 10^{10}-2\cdot 10^6+25}{9}}$$ $$=\dfrac{\sqrt{2^2\cdot {(10^5)}^2-2\cdot 10^5\cdot 10+25}}{3}$$ $$=\dfrac{\sqrt{{(2\cdot 10^5)}^2-(2\cdot 10^5)\cdot 10+25}}{3}$$ $$=\dfrac{\sqrt{{(2\cdot 10^5)}^2-2\cdot … Sigue leyendo
Publicado en Miscelánea matemática
Etiquetado cálculo, forma herística, raíz
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Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$
Enunciado (a) Encontrar un polinomio $p(x)$ de tercer grado de $\mathbb{Z}[x]$ admitiendo como raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}.$ (b) Descomponer $p(x)$ en producto de factores irreducibles en $\mathbb{R}[x].$ Solución (a) Sea $p(x)=c_3x^3+c_{2}x^{2}+c_1x+c_0\in\mathbb{Z}[x]$ con $c_3\ne 0.$ Si tiene como raíz a $\alpha,$ $$c_3{\alpha}^3+c_{2}{\alpha}^{2}+c_1{\alpha}+c_0=0,$$ $$\alpha^3=-\frac{c_{2}}{c_3}\alpha^{2}-\frac{c_1}{c_3}\alpha-\frac{c_0}{c_3}=b_{2}\alpha^{2}+b_1\alpha+b_0,\quad … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado $alpha=2+sqrt[3]{3}$, $mathbb{Z}[x]$, polinomio, raíz
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Raíz cuadrada de un número complejo
Demostramos una fórmula general para hallar la raíz cuadrada de un número complejo. Enunciado Siendo $a,b\in\mathbb{R},$ calcular $\sqrt{a+bi}$ expresando el resultado en forma binómica. Solución Para $x,y\in\mathbb{R},$ tenemos las equivalencias $$\sqrt{a+bi}=x+yi\Leftrightarrow (x+yi)^2=a+bi\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi=a+bi$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-y^2=a\\& … Sigue leyendo
Criterios de la raíz, cociente y Raabe
Proporcionamos ejercicios sobre los criterios de la raíz, cociente y Raabe. Enunciado Usando el criterio de la raíz, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos: $1)\;\displaystyle\sum \left(\frac{n+1}{2n-1}\right)^n.\quad 2)\;\displaystyle\sum \left(\frac{3n-1}{2n+1}\right)^{n+2}.\quad3)\;\sum \frac{1}{n}.$ Usando el criterio del cociente, analizar el … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado cociente, Raabe, raíz, riterios
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Raíz cuádruple según parámetros
Determinamos las condiciones que han de cumplir los parámetros de un polinomio para que admita una raíz cuádruple. Enunciado Determinar $m,n,p\in\mathbb{R}$ para que el polinomio $f(x)=x^6+mx^4+10x^3+nx+p$ admita una raíz cuádruple. Solución Si $x$ es una raíz cuádruple, ha de verificar … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado cuádruple, parámetros, raíz
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