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Archivo de la etiqueta: residuos
Singularidades y residuos de $f(z)=\dfrac{e^{1/z}}{z-1}$
Enunciado Se considera la función $$f(z)=\dfrac{e^{1/z}}{z-1}.$$ Determinar sus singularidades, clasificarlas y hallar sus residuos. Solución La función no es analítica en $z=0$ y en $z=1,$ y estas son por tanto sus singularidades. Caso $z=1.$ Tenemos $\lim_{z\to 1}f(z)=e/0=\infty,$ es decir $z=1$ … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado $f(z)=dfrac{e^{1/z}}{z-1}$, residuos, singularidades
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Singularidades y residuos de $f(z)=\dfrac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}$
Enunciado Se considera la función $$f(z)=\dfrac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}.$$ Determinar sus singularidades, clasificarlas y hallar sus residuos. Solución La función no es analítica para $z^3+z^2-z-1=0.$ Descomponiendo obtenemos $(z+1)^2(z-1)=0,$ con lo cual sus singularidades son $z=1$ y $z=-1.$ Entonces, $$\lim_{z\to 1}f(z)=\frac{\sin 1}{0}=\infty,\quad \lim_{z\to … Sigue leyendo
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Etiquetado $f(z)=dfrac{sin z}{z^3+z^2-z-1}$, residuos, singularidades
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Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos
Enunciado Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$. Sugerencia: considerar $\displaystyle\int_{\gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz$ siendo $\gamma$ la curva $ABCA$ de la figura Solución Sea $\Gamma$ la curva $ABC,$ es decir la semicircunferencia superior. Tenemos $$\int_{-R}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx+\int_{\Gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz=\int_{\gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+i}dz.\quad (1)$$ Podemos expresar $$\int_{-R}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx=\int_{-R}^{0}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx+\int_{0}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx$$ $$\underbrace{=}_{t=-x}\int_{R}^{0}\frac{\log … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado $int_{0}^{+infty}frac{log (x^2+1)}{x^2+1}dx$, integral, residuos
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Integral $ \int_{0}^{+\infty}(\cos x/\cosh x)\;dx $ por residuos
Enunciado Calcular aplicando la técnica de residuos la integral real impropia $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos x}{\cosh x}\;dx.$$ Sugerencia: integrar $f(z)=\dfrac{e^{iz}}{\cosh z}$ a lo largo de un cierto rectángulo. (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM). Solución Elijamos el rectángulo $\Gamma$ … Sigue leyendo
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Etiquetado $ int_{0}^{+infty}(cos x/cosh x);dx $, ntegral, residuos
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Suma de series por residuos
Estudiamos la manera de calcular la suma de algunas series, usando residuos. Enunciado Sea $N$ entero no negativo y $\Gamma_N$ el cuadrado de vértices $$\left(N+\frac{1}{2}\right)(1+i),\quad\left(N+\frac{1}{2}\right)(1-i),\;$$ $$\left(N+\frac{1}{2}\right)(-1+i),\quad \left(N+\frac{1}{2}\right)(-1-i).$$ Demostrar que existe $M>0$ tal que $\left|\cot \pi z\right|\leq M$ para todo $z\in\Gamma_N.$ … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado residuos, series, suma
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