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Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos

Enunciado Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$. Sugerencia: considerar $\displaystyle\int_{\gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz$ siendo $\gamma$ la curva $ABCA$ de la figura Solución Sea $\Gamma$ la curva $ABC,$ es decir la semicircunferencia superior. Tenemos $$\int_{-R}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx+\int_{\Gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz=\int_{\gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+i}dz.\quad (1)$$ Podemos expresar $$\int_{-R}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx=\int_{-R}^{0}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx+\int_{0}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx$$ $$\underbrace{=}_{t=-x}\int_{R}^{0}\frac{\log … Sigue leyendo

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Integral $ \int_{0}^{+\infty}(\cos x/\cosh x)\;dx $ por residuos

Enunciado Calcular aplicando la técnica de residuos la integral real impropia $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos x}{\cosh x}\;dx.$$ Sugerencia: integrar $f(z)=\dfrac{e^{iz}}{\cosh z}$ a lo largo de un cierto rectángulo.  (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM). Solución Elijamos el rectángulo $\Gamma$ … Sigue leyendo

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