Archivo de la etiqueta: Riemann

$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}.$

RESUMEN. Calculamos un límite por sumas de Riemann. Enunciado Calcular $L=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}.$ Solución Denotemos $A(n)={\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}}.$ Entonces, $$A(n)=\displaystyle\sqrt[n]{\frac{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}{n^n}}=\sqrt[ n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1+\frac{n}{n}\right)}.$$ Tomando logaritmos, $$\log A(n)=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n{\log \left(1+\frac{k}{n}\right)}$$ y usando la conocida fórmula de las sumas de Riemann $$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1f(x)\;dx$$ obtenemos $$\lim_{n\to … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , | Comentarios desactivados en $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}.$

Teorema de reordenación de Riemann

Demostramos el teorema de Riemann de la reordenación de series: dada una serie real condicionalmente convergente y dado $x\in [-\infty,+\infty]$, existe una reordenación de la serie cuya suma es $x$. Enunciado Por simplicidad, denotaremos $\sum a_n=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$. Demostrar que si la … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , , | Comentarios desactivados en Teorema de reordenación de Riemann

La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]

Demostramos que la función de Thomae es integrable Riemann en el intervalo $[0,1].$ Enunciado Se define la función de Thomae como la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $$f(x) = \begin{cases} 1 &\text{si }x=0\\ \dfrac{1}{q} &\text{si }x\text{ is racional, }x=\dfrac{p}{q},\; q … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , , | Comentarios desactivados en La función de Thomae es integrable Riemann en [0,1]

Convergencia de las series de Riemann

Demostramos el teorema acerca de la convergencia o divergencia de las series de Riemann. Enunciado Se consideran la series de Riemann $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p},\;p\in\mathbb{R}.$$ Analizar su convergencia usando el criterio integral y el teorema de la condición necesaria. Solución Para $p\neq 1$ … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , | Comentarios desactivados en Convergencia de las series de Riemann

Series de términos positivos

Proporcionamos ejercicios sobre eries de términos positivos. Enunciado Analizar el carácter de las series: $a)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.\quad b)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}.\quad c)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}n^2.\quad d)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{n^4}-\frac{7}{n\sqrt{n}}\right).$ Usando el criterio de comparación por cociente, analizar el carácter de las series: $a)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n^2+n-1}{3n^4+n^3-2}.\quad b)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sqrt[3]{n}+2\sqrt[4]{n}+1}{2n+5\sqrt{n}+6}.$ Usando … Sigue leyendo

Publicado en Análisis real y complejo | Etiquetado , , , , , , , , | Comentarios desactivados en Series de términos positivos