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Ceros complejos de las funciones seno y coseno

RESUMEN. Demostramos que los ceros complejos las funciones seno y coseno son los mismo que los ceros reales. Enunciado Determinar los ceros en $\mathbb{C}$ de las funciones seno y coseno complejos. Solución Tenemos $$\sin z=0\Leftrightarrow \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0\Leftrightarrow e^{iz}-\frac{1}{e^{iz}}=0\Leftrightarrow e^{2iz}=1$$ $$\Leftrightarrow e^{2i(x+iy)}=1\Leftrightarrow … Sigue leyendo

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Derivada enésima de la función seno

Demostramos por inducción la fórmula de la derivada enésima de la función seno. Enunciado Demostrar por inducción que si  $f(x)=\text{sen }x,$ entonces $$f^{(n)}(x)=\text{sen}\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right),$$ en donde $f^{(n)}(x)$ representa la derivada enésima de $f(x).$ Solución Recordemos las fórmulas de trigonometría: $$\text{sen }(a+ … Sigue leyendo

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Factorización canónica de la función seno

Proponemos como ejemplo de factorización canónica, a la función seno. Enunciado Efectuar la factorización canónica de la aplicación $\;f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$  $\;f(x)=\text{sen }x.$ Solución La relación de equivalencia $\sim$ asociada a la aplicación  $f$ es $s\sim t$ $\Leftrightarrow$ $f(s)=f(t),$ o bien … Sigue leyendo

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Seno de 72 grados

Calculamos el seno de 72 grados transformando una ecuación compleja. Enunciado Se considera la ecuación $$z^2+z+1+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}=0.$$ Multiplicar por $z-1$ dicha ecuación. Efectuar un cambio $w=z+\dfrac{1}{z}$ en la citada ecuación reduciéndola a otra cuya única variable sea $w$. Aplicar lo anterior … Sigue leyendo

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