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- $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}.$
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Archivo de la etiqueta: serie
Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$
Enunciado Dada la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}.$ Demostrar que es convergente. Hallar su suma. Solución La serie es de términos positivos. Aplicando el criterio de D’Alembert $$L=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n+1}{2^{n+1}(n+2)}:\frac{2^n(n+1)}{n}\right)=\frac{1}{2}\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n+2}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}<1,$$ por tanto la serie es convergente. Consideremos la función $$f:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{n}{n+1}}x^n.$$ … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado $displaystylesum_{n=1}^{infty}frac{n}{2^n(n+1)}$, serie, suma
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Ecuación diferencial por serie de potencias
Proporcionamos un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial por serie de potencias. Enunciado Se considera la ecuación diferencial $y^{\prime\prime}(x)+y(x)=x.$ Sea $y(x)$ solución de la ecuación que se puede expresar como suma de una serie entera convergente en $\mathbb{R}.$ Determinar … Sigue leyendo
Publicado en Ecuaciones diferenciales
Etiquetado diferencial, ecuación, potencias, serie
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Suma de una serie a partir de la de Basilea
Hallamos la suma de una serie a partir de la de Basilea $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.$ Enunciado Se considera la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n-1}{n^2(n+1)^2}.$ Demostrar que es convergente. Hallar su suma sabiendo que $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.$ Solución La serie dada es de términos positivos. Además:$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{2n-1}{n^2(n+1)^2}:\frac{1}{n^3}\right)=1.$$ … Sigue leyendo
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Etiquetado Basilea, serie, suma
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Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales
En los siguientes ejercicios, deducimos los desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales. Enunciado Demostrar que $$e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}+\cdots =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}\quad\left(\forall x\in\mathbb{R}\right).$$ y que si $a>0,$ $$a^x=1+\dfrac{x\log a}{1!}+\dfrac{x^2\left(\log a\right)^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n\left(\log a\right)^n}{n!}+\cdots =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k\left(\log a\right)^k}{k!}$$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Demostrar que $$\operatorname{ch}{x}=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots +\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}\quad\left(\forall … Sigue leyendo
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Etiquetado desarrollos, funciones, habituales, Maclaurin, serie
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Serie de Maclaurin
Enunciado Sea $I$ un intervalo abierto centrado en $0$ y $f$ una función definida en $I.$ Si $f$ es igual en $I$ a la suma de una serie entera, demostrar que esta serie es necesariamente $$f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+\cdots.$$ Sea $I$ intervalo abierto … Sigue leyendo
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Etiquetado Maclaurin, serie
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