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Teorema de reordenación de Riemann

Demostramos el teorema de Riemann de la reordenación de series: dada una serie real condicionalmente convergente y dado $x\in [-\infty,+\infty]$, existe una reordenación de la serie cuya suma es $x$. Enunciado Por simplicidad, denotaremos $\sum a_n=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$. Demostrar que si la … Sigue leyendo

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Producto de Cauchy de series igual a la unidad

Enunciado Usando el producto de Cauchy de series, demostrar que $$\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x)^n}{n!}\right)=1.$$ Dar una obvia interpretación de la igualdad anterior. Solución Aplicando el criterio de D’Alembert a ambas series para $x\ne 0,$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{x^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0<1,$$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{(-x)^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{(-x)^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0<1,$$ lo cual … Sigue leyendo

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