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Archivo de la etiqueta: series
Teorema de reordenación de Riemann
Demostramos el teorema de Riemann de la reordenación de series: dada una serie real condicionalmente convergente y dado $x\in [-\infty,+\infty]$, existe una reordenación de la serie cuya suma es $x$. Enunciado Por simplicidad, denotaremos $\sum a_n=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$. Demostrar que si la … Sigue leyendo
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Producto de Cauchy de series igual a la unidad
Enunciado Usando el producto de Cauchy de series, demostrar que $$\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x)^n}{n!}\right)=1.$$ Dar una obvia interpretación de la igualdad anterior. Solución Aplicando el criterio de D’Alembert a ambas series para $x\ne 0,$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{x^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0<1,$$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{(-x)^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{(-x)^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0<1,$$ lo cual … Sigue leyendo
Teorema de Pitagoras trigonométrico por series de potencias
Enunciado Usando los desarrollos en serie de potencias, demostrar el teorema de Pitágoras trigonométrico en $\mathbb{C},$ es decir $$\text{sen }^2 z+\cos^2z=1,\quad \forall z\in \mathbb{C}.$$ Solución Sabemos que para todo $z\in\mathbb{C}$ se verifica $$\text{sen } z = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n … Sigue leyendo
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Suma de series por residuos
Estudiamos la manera de calcular la suma de algunas series, usando residuos. Enunciado Sea $N$ entero no negativo y $\Gamma_N$ el cuadrado de vértices $$\left(N+\frac{1}{2}\right)(1+i),\quad\left(N+\frac{1}{2}\right)(1-i),\;$$ $$\left(N+\frac{1}{2}\right)(-1+i),\quad \left(N+\frac{1}{2}\right)(-1-i).$$ Demostrar que existe $M>0$ tal que $\left|\cot \pi z\right|\leq M$ para todo $z\in\Gamma_N.$ … Sigue leyendo
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Series en espacios normados
Estudiamos algunas propiedades de las series en espacios normados. Enunciado Sea $\sum_{n\geq 0}x_n$ una serie convergente en un espacio normado $E.$ Demostrar que $x_n\to 0.$ Dar un contraejemplo que demuestre que el recíproco no es cierto. (Álgebra de series). Sean … Sigue leyendo
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