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Archivo de la etiqueta: series
Suma de series enteras por derivación o integración
Proporcionamos ejemplos de cálculo de la suma de series enteras usando la derivación o integración término a término. Enunciado Valiéndose de la derivación o integración término a término y de la serie geométrica, hallar la suma de las series enteras: … Sigue leyendo
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Derivación e integración de series enteras
Enunciado Sea $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ una serie entera con radio de convergencia $R.$ Demostrar que si $\rho\in [0,R),$ la serie converge uniformemente en el intervalo $[-\rho,\rho].$ Demostrar que toda serie entera y su serie derivada tienen el mismo radio de convergencia. Sea … Sigue leyendo
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Series enteras o de potencias, radio de convergencia
Enunciado Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nx^n.$ Demostrar que si converge para $x=x_0\neq 0,$ entonces converge para todo $x$ tal que $\left |x\right|<\left| x_0\right|.$ Sea la serie entera $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nx^n.$ Demostrar que existe un único $R\in [0,+\infty]$ tal que: $i)\;$ … Sigue leyendo
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Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass
Aplicamos el criterio de Weierstrass para identificar series uniformemente convergentes. Enunciado Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^2x}{2^n+1}$ es uniformemente convergente en $\mathbb{R}.$ Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-nx^2}}{n^2+x^2}$ es uniformemente convergente en $\mathbb{R}.$ Sea $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}nx}{n^3}.$ Demostrar que $\displaystyle\int_0^{\pi}f(x)\;dx=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^4}.$ Estudiar la convergencia de … Sigue leyendo
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Convergencia de las series de Riemann
Demostramos el teorema acerca de la convergencia o divergencia de las series de Riemann. Enunciado Se consideran la series de Riemann $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p},\;p\in\mathbb{R}.$$ Analizar su convergencia usando el criterio integral y el teorema de la condición necesaria. Solución Para $p\neq 1$ … Sigue leyendo
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