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Archivo de la etiqueta: sistema
Concepto de solución de un sistema autónomo
Enunciado 1. Comprobar que la función $$\varphi:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to \mathbb{R}^2,\quad\varphi (t)=\begin{bmatrix}{\tan t}\\{\cos^2t}\end{bmatrix}$$ es solución del sistema diferencial autónomo: $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=1+x_1^2\\x’_2=-2x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\\x_2(0)=1.\end{matrix}\right.$$ 2. Interpretar físicamente el concepto de solución del sistema autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x’=v(x)\\x(0)=x_0.\end{matrix}\right.$$ Solución 1. … Sigue leyendo
Publicado en Ecuaciones diferenciales
Etiquetado autónomo, concepto, sistema, solución
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Concepto de sistema autónomo
Enunciado 1. Analizar si el siguiente sistema diferencial es autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=1+x_1^2\\x’_2=-2x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\\x_2(0)=1.\end{matrix}\right.$$ 2. Analizar si el siguiente sistema diferencial es autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=x_1\cos t\\x’_2=-x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\\x_2(0)=0.\end{matrix}\right.$$ Solución 1. El campo … Sigue leyendo
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Sistema autónomo: dibujo de una órbita
Enunciado Dibujar la órbita que pasa por el punto $(0,2)$ en el sistema diferencial autónomo $\left \{ \begin{matrix}x’=1+x^2\\ y’=-2xy.\end{matrix}\right.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Hallemos una integral primera del sistema $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{-2xy}{2+x^2}\;.\quad 2xy\;dx +(1+x^2)\;dy=0\;,\quad\displaystyle\frac{2x\;dx}{1+x^2}+\displaystyle\frac{dy}{y}=0.$ … Sigue leyendo
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Puntos atraídos por el origen en un sistema diferencial
Enunciado Determinar los puntos $M(a,b,c)$ que son atraídos por el origen (cuanto $t\to +\infty$) en el sistema diferencial $X’=AX.$ $A=\begin{bmatrix}{0}&{2}&{3}\\{2}&{1}&{2}\\{3}&{2}&{0}\end{bmatrix}\;.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Hallemos los valores propios de $A.$ Restando a … Sigue leyendo
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Etiquetado atraídos, diferencial, origen, puntos, sistema
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Ecuación diferencial equivalente a un sistema
Exponemos la manera de transformar una ecuación diferencial lineal de orden $n$ y coeficientes constantes, en un sistema equivalente. Enunciado Se considera la ecuación diferencial lineal real de coeficientes constantes $$x^{(n)}+a_{n-1}x^{(n-1)}+\ldots+a_1x’+a_0x=0.$$ Transformarla en un sistema diferencial de primer orden. Usando … Sigue leyendo
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