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Sistemas lineales, método de Gauss: problemas diversos

Proponemos problemas diversos sobre el método de Gauss para sistemas lineales. Enunciado Disponemos de tres montones de monedas y duplicamos las monedas del segundo montón tomando las necesarias del primer montón. Duplicamos después las monedas del tercer montón a costa … Sigue leyendo

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Sistemas lineales escalonados

Proponemos ejercicios sobre sistemas lineales escalonados. Enunciado Resolver sobre $\mathbb{R}$ el sistema escalonado $$\left \{\begin{array}{rcrcrcr} 3 \,x_1 & + & x_2 & – & \,x_3 & = & 9 \\ & & 2\,x_2 & + & 5 \,x_3 & = … Sigue leyendo

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Sistemas diferenciales según parámetro

Enunciado Para cada valor real del parámetro $a$ se considera la matriz $A=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1-a}&{a}\end{bmatrix}.$ Clasificar los sistemas diferenciales $X’=AX.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM). Solución Hallemos los valores propios de $A:$ $\begin{aligned} \left|A-\lambda I\right|&= \lambda^2-(\mbox{tr}A)\lambda+\det … Sigue leyendo

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Sistemas diferenciales lineales no homogéneos con coeficientes constantes

Resolvemos dos sistemas diferenciales lineales no homogéneos con coeficientes constantes. Enunciado Resolver el sistema diferencial: $$X’=\begin{bmatrix}{\;\;4}&{1}\\{-2}&{1}\end{bmatrix}X+\begin{bmatrix}{0}\\{-2e^{t}}\end{bmatrix},$$ con la condición $X(0)=\begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}.$ Resolver el sistema diferencial: $$X’=\begin{bmatrix}{-1}&{0}&{0}\\{\;\;0}&{2}&{1}\\{\;\;0}&{0}&{2}\end{bmatrix}X+\begin{bmatrix}{t}\\{1}\\{0}\end{bmatrix},$$ con la condición $X(0)=\begin{bmatrix}{\;\;0}\\{\;\;1}\\{-1}\end{bmatrix}.$ Solución Recordemos el siguiente teorema: sea el sistema diferencial lineal no … Sigue leyendo

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Sistemas diferenciales lineales homogéneos con coeficientes constantes

Resolvemos tres sistemas diferenciales lineales homogéneos con coeficientes constantes. Enunciado Resolver los siguientes sistemas diferenciales: $\quad\left \{ \begin{matrix}x’_1=2x_1+x_2+x_3\\x’_2=x_1+2x_2+x_3\\ x’_3=x_1+x_2+2x_3\end{matrix}\right.\quad$ con la condición inicial $\qquad \left \{ \begin{matrix}x_1(1)=1\\x_2(1)=0\\ x_3(1)=3.\end{matrix}\right.$ $\quad \begin{bmatrix}{x’_1}\\{x’_2}\\{x’_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}&{6}&{-15}\\{1}&{1}&{-5}\\{1}&{2}&{-6}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{bmatrix}.$ $\quad \begin{bmatrix}{x’}\\{y’}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}&{-1}\\{13}&{-3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}\quad$ con la condición inicial $\begin{bmatrix}{x(0)}\\{y(0)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}\\{2}\end{bmatrix}.$ Solución Recordemos el … Sigue leyendo

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