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Conmutatividad de la suma en los anillos

RESUMEN. Demostramos que en un anillo conmutativo y unitario, la conmutatividad de la suma se puede deducir de los restantes axiomas. Enunciado Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo conmutativo y unitario. Demostrar que la conmutatividad de la suma se puede deducir de … Sigue leyendo

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Límite de la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{bk}{n}}}{n}$

RESUMEN. Hallamos el límite de una suma finita por cálculo directo y por sumas de Riemann. Enunciado. $1)$ Calcular la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{k}{n}}}{n}\;\; (b\in\mathbb{R})$. $2)$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{k}{n}}}{n}.$ $3)$ Calcular el límite anterior por sumas de Riemann. Solución. $1)$ … Sigue leyendo

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Suma de cardinales

Definimos la suma de cardinales y demostramos algunas propiedades. Si $\mathfrak{a}$ y $\mathfrak{b}$ son dos cardinales entonces, siempre existen conjuntos disjuntos $A$ y $B$ tales que $\mathfrak{a}=|A|$ y $\mathfrak{b}=|B|$. En efecto, si $\mathfrak{a}=|A^\prime|$ y $\mathfrak{b}=|B^\prime|$ basta elegir $A=A^\prime \times \{0\}$ … Sigue leyendo

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Suma directa externa de espacios

Definimos la suma directa externa de espacios vectoriales y estudiamos dos de sus propiedades. Enunciado Sea $\Delta$ un conjunto no vacío de índices, $\{V_i:i\in\Delta\}$ una colección de espacios vectoriales sobre el cuerpo $K$ y $V=\prod_{i\in \Delta}V_i$ el correspondiente espacio vectorial … Sigue leyendo

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Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$

Enunciado Dada la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}.$ Demostrar que es convergente. Hallar su suma. Solución La serie es de términos positivos. Aplicando el criterio de D’Alembert $$L=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n+1}{2^{n+1}(n+2)}:\frac{2^n(n+1)}{n}\right)=\frac{1}{2}\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n+2}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}<1,$$ por tanto la serie es convergente. Consideremos la función $$f:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{n}{n+1}}x^n.$$ … Sigue leyendo

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