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Archivo de la etiqueta: suma
Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$
Enunciado Dada la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}.$ Demostrar que es convergente. Hallar su suma. Solución La serie es de términos positivos. Aplicando el criterio de D’Alembert $$L=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n+1}{2^{n+1}(n+2)}:\frac{2^n(n+1)}{n}\right)=\frac{1}{2}\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n+2}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}<1,$$ por tanto la serie es convergente. Consideremos la función $$f:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{n}{n+1}}x^n.$$ … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado $displaystylesum_{n=1}^{infty}frac{n}{2^n(n+1)}$, serie, suma
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Derivabilidad de una función compleja como suma de dos series
Estudiamos la derivabilidad de una función compleja como suma de dos series, y su expresión en suma de una única serie. Enunciado Se considera la función compleja de variable compleja definida en forma de suma de series: $$f(z)=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z}{3}\right)^n+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{z^n}.$$ (a) Determinar … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado derivabilidad, dos series, función compleja, suma
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Forma bilineal a partir de una suma directa
Enunciado Sea $V$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $W_1$ y $W_2$ dos subespacios de $V$ tales que $V=W_1 \oplus W_2.$ Sea $f$ una forma bilineal sobre $W_1$ y $g$ una forma bilineal sobre $W_2,$ y sea la … Sigue leyendo
Suma $\scriptstyle \sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}$ en un espacio de matrices
Enunciado Sea $\mathbb{K}$ el cuerpo de los reales o los complejos, y $\left\|{\;}\right\|$ una norma matricial en el espacio vectorial $E=\mathbb{K}^{n\times n}$ de las matrices cuadradas de orden $n$ con coeficientes en $\mathbb{K}.$ Sea $A\in \mathbb{K}^{n\times n}$ tal que $\left\|{A-I}\right\|<1.$ … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado $sum_{k=0}^infty{(I-A)^k}$, espacio, matrices, suma
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Suma de una serie a partir de la de Basilea
Hallamos la suma de una serie a partir de la de Basilea $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.$ Enunciado Se considera la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n-1}{n^2(n+1)^2}.$ Demostrar que es convergente. Hallar su suma sabiendo que $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.$ Solución La serie dada es de términos positivos. Además:$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{2n-1}{n^2(n+1)^2}:\frac{1}{n^3}\right)=1.$$ … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado Basilea, serie, suma
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