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Proporcionamos ejercicios sobre clasificación de formas cuadráticas. Enunciado Clasificar la forma cuadrática $q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}:$ $$q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2ax_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3\;\;(a\in\mathbb{R}).$$ Determinar para que valores de $a\in\mathbb{R}$ es definida positiva la forma cuadrática $$q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\quad q(x)=X^T\begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{2}&{6}&{2}\\{1}&{2}&{a}\end{bmatrix}X.$$ Solución Busquemos una matriz diagonal que represente a $q.$ $$\begin{bmatrix}{1}&{a}&{-1}\\{a}&{1}&{2}\\{-1}&{2}&{5}\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim\\{F_2-aF_1}\\{F_3+F_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{a}&{-1}\\{0}&{1-a^2}&{2+a}\\{0}&{2+a}&{4}\end{bmatrix}$$ $$\begin{matrix}\sim\\{C_2-aC_1}\\{C_3+C_1}\end{matrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1-a^2}&{2+a}\\{0}&{2+a}&{4}\end{bmatrix}.$$ Para … Sigue leyendo →