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Teorema fundamental del Álgebra

RESUMEN. Demostramos el teorema fundamental del Álgebra. Teorema fundamental del Álgebra (1) Todo polinomio $p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots a_1z+ a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $n \ge 1$ y $a_n\ne 0$ tiene al menos una raíz compleja. (2) Corolario. Todo polinomio $p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots a_1z+ a_0\in\mathbb{C}[z]$ con $n \ge … Sigue leyendo

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Dibujo de una conica mediante el teorema espectral

RESUMEN. Usando el teorema espectral clasificamos y dibujamos una cónica. Enunciado Se considera la cónica de ecuación $f(x,y)=0,$ en donde $$f(x,y)=\displaystyle\frac{5}{3}y^2+ 4xy – \sqrt{208}y -12$$ (1) Descomponer $f(x,y)$ en suma de una forma cuadrática $q(x,y)$ y un polinomio de primer … Sigue leyendo

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Teorema de Pitágoras en espacios prehilbertianos

RESUMEN. Demostramos el teorema de Pitágoras y su generalización en espacios prehilbertianos. Teorema (de Pitágoras en espacios prehilbertianos) Sea $E$ un espacio prehilbertiano. Entonces, (1) Si $x,y\in E$ son vectores ortogonales se verifica $$\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2.$$ (2) Más general, si $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\subset E$ … Sigue leyendo

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Teorema de Jordan-Von Neumann

RESUMEN. Sabemos que en todo espacio prehilbertiano se cumple la ley del paralelogramo $$ \| x+y\|^2+\| x-y\|^2=2\| x\|^2+2\|y\|^2,\quad \forall x,y\in E.$$ Sea $E$ un espacio vectorial normado sobre $\mathbb{K}.$ El teorema de Jordan-Von Neumann asegura que el recíproco es cierto, … Sigue leyendo

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Teorema de representación de Riesz-Fréchet

RESUMEN. Sea $H$ un espacio de Hilbert sobre $\mathbb{K}.$ Sabemos que para todo $y\in H,$ la aplicación $T_y:H\to \mathbb{K}$ dada por $T_y(x)=\langle x,y\rangle$ es lineal y continua. Demostramos ahora el teorema de representación de Riesz-Fréchet: toda aplicación lineal y continua … Sigue leyendo

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