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Archivo de la etiqueta: transformadas
Transformadas de Laplace: problemas diversos
Proponemos problemas diversos sobre la transformada de Laplace. Enunciado Sea $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua a trozos en todo intervalo y de orden exponencial. Supongamos que $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).$ Demostrar que $$\mathcal{L}\{f(at)\}=\dfrac{1}{a}F\left(\dfrac{s}{a}\right),\;a>0.$$ A esta propiedad se la llama propiedad del cambio de escala. … Sigue leyendo
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Resolución de ecuaciones y sistemas mediante transformadas de Laplace
Exponemos el método para la resolución de ecuaciones y sistemas lineales mediante transformadas de Laplace. Enunciado Resolver la ecuación $x^{\prime}-2x=e^{5t},\quad x(0)=3.$ Resolver la ecuación $$x^{\prime\prime}-5x’+4x=4,\quad x(0)=0,\quad x'(0)=2.$$ Resolver la ecuación $$x^{\prime\prime\prime}+x’=e^t,\quad x(0)=x'(0)=x^{\prime\prime}(0)=0.$$ Resolver el problema de valor inicial $$\left \{ … Sigue leyendo
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Derivadas de las transformadas de Laplace
Proporcionamos la manera de hallar las derivadas de las transformadas de Laplace. Enunciado 1. Sea $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua a trozos en todo intervalo $[0,b]$ y de orden exponencial $e^{\alpha t}$. Demostrar que si $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$ para $s>\alpha,$ se verifica $$\mathcal{L}\{t^nf(t)\}=(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}F(s)\text{ … Sigue leyendo
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Propiedades de traslación de las transformadas de Laplace
Demostramos y damos ejemplos de aplicación de las propiedades de traslación de las transformadas de Laplace. Enunciado Demostrar la primera propiedad de traslación de las transformadas de Laplace: Supongamos que $f$ es una función tal que existe $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$ para $s>\alpha.$ … Sigue leyendo
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Tabla de transformadas de Laplace
Proporcionamos una tabla de transformadas de Laplace de algunas funciones. $1.\quad \; f(t)=1 \Rightarrow F(s)= \dfrac{1}{s}.$ $2.\quad \; f(t)=e^{at} \Rightarrow F(s)= \dfrac{1}{s-a}.$ $3.\quad \; f(t)=\operatorname{sen}bt \Rightarrow F(s)= \dfrac{b}{s^2+b^2}.$ $4.\quad\; f(t)=\cos bt \Rightarrow F(s)= \dfrac{s}{s^2+b^2}.$ $5.\quad \; f(t)=\operatorname{senh}bt \Rightarrow F(s)= \dfrac{b}{s^2-b^2}.$ … Sigue leyendo
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