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Cardinal de la unión de tres conjuntos
Proporcionamos un ejercicio sobre la fórmula para el cardinal de la unión de tres conjuntos con un ejemplo de aplicación. (Para una generalización, ver Cardinal de la unión de $n$ conjuntos). Enunciado Sea $M$ un conjunto finito (es decir, con … Sigue leyendo
Tres órbitas en un conjunto de nivel
Determinamos las tres órbitas que componen un conjunto de nivel de un sistema autónomo dado. Enunciado Dado el sistema $\left \{ \begin{matrix}x’=y^2\\y’=x^2\end{matrix}\right.$ determinar una integral primera $F(x,y)$ no constante del mismo. Comprobar. Dibujar las órbitas que determina el conjunto de … Sigue leyendo
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Tres propiedades de la matriz exponencial
Demostramos tres propiedades de la matriz exponencial. Enunciado Demostrar que si $e^{tA}=e^{tB}$ para todo $t$ entonces es $A=B.$ Demostrar que si $A$ es simétrica ($A^T=A$) entonces $e^{tA}$ es simétrica para todo $t.$ Enunciar el recíproco y estudiar su validez. Demostrar … Sigue leyendo
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Tres relaciones en $\mathbb{N}$
Estudiamos tres relaciones en el conjunto de los números naturales. Enunciado En el conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales ($0\not\in\mathbb{N}$) se definen las siguientes relaciones: $(a)$ La relación $R$ tal que $aRb\Leftrightarrow a\mbox{ es divisible por }b $ $(b)$ La … Sigue leyendo
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Tres igualdades en un grupo
Demostramos que un grupo es abeliano a partir de tres igualdades. Enunciado Sea $(G,\cdot)$ un grupo. Supongamos que existe un entero $k$ tal que para cualesquiera que sean $a$ y $b$ pertenecientes a $G$ se verifica $$(ab)^{k-1}=a^{k-1}b^{k-1},\quad (ab)^{k}=a^{k}b^{k},\quad (ab)^{k+1}=a^{k+1}b^{k+1}.$$ Demostrar … Sigue leyendo
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