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Funciones trigonométricas complejas

Definimos las funciones trigonométricas complejas, que generalizan a las trigonométricas reales. Enunciado Demostrar que las funciones seno y coseno complejos son una generalización de las correspondientes seno y coseno reales. Demostrar las relaciones $$\begin{aligned}&\operatorname{sen}^2z+\cos^2z=1,\\& 1+\tan^2z=\sec^2z,\\&1+\cot^2z=\csc^2z.\end{aligned}$$ Demostrar las relaciones $$\operatorname{sen}(-z)=-\operatorname{sen}z,\quad \cos … Sigue leyendo

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Integración de funciones trigonométricas (4)

Enunciado Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{5+4\operatorname{sen}x+3\cos x}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{1+\operatorname{sen}x+\cos x}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{3+5\cos x}.$ Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{1+\cos^2 x}.$ Demostrar que si $t=\tan \dfrac{x}{2},$ entonces: $$\operatorname{sen}x=\frac{2t}{1+t^2},\;\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\; dx=\frac{2\;dt}{1+t^2}.$$ Demostrar que si $t=\tan x,$ entonces: $$\operatorname{sen}x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\;\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},\; dx=\frac{dt}{1+t^2}.$$ Solución Efectuando la sustitución $t=\tan \dfrac{x}{2}:$ $$I=\int\frac{\dfrac{2\;dt}{1+t^2}}{5+4\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}+3\cdot \dfrac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2\;dt}{5(1+t^2)+8t+3(1-t^2)}$$ … Sigue leyendo

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