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Archivo de la etiqueta: unidad
Producto de Cauchy de series igual a la unidad
Enunciado Usando el producto de Cauchy de series, demostrar que $$\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x)^n}{n!}\right)=1.$$ Dar una obvia interpretación de la igualdad anterior. Solución Aplicando el criterio de D’Alembert a ambas series para $x\ne 0,$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{x^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0<1,$$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{(-x)^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{(-x)^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0<1,$$ lo cual … Sigue leyendo
Una unidad en el anillo cociente Q[X] / I
Estudiamos si un determinado elemento es unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[x]/I.$ Enunciado Sea el ideal de $\mathbb{Q}[x],$ $I=(x^3 + 3x + 2).$ ¿Es $(x + 1) + I\in \mathbb{Q}[x]/I$ una unidad de $\mathbb{Q}[x]/I$? Solución Cualquier elemento de $\mathbb{Q}[x]/I$ tiene … Sigue leyendo
Publicado en Álgebra
Etiquetado anillo, cociente, Q[ X ] / I, unidad
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Integral en el cubo unidad
Enunciado Calcúlese $$I=\displaystyle\int_{M}f(x,y,z)\;dxdydz,$$ en donde $M=[0,1]^3 $ y $f(x,y,z)=\max\;\{x,y,z\}.$ (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED). Solución Descomponemos la región $M$ en tres subregiones: $$M_1=\{(x,y,z)\in [0,1]^3\;:\;y\leq x\;,\;z\leq x\},$$ $$ M_2=\{(x,y,z)\in [0,1]^3\;:\;x\leq y\;,\;z\leq y\},$$ $$ M_3=\{(x,y,z)\in [0,1]^3\;:\;x\leq z\;,\;y\leq … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado cubo, integral, unidad
Comentarios desactivados en Integral en el cubo unidad
Área de una imagen del círculo unidad
Enunciado 1. Se considera en el plano complejo una curva de Jordan $\Gamma$ con orientación positiva. Expresar el área de la región interior a dicha curva en términos de la integral compleja curvilínea $\int_{\Gamma}\bar{w}\;dw.$ 2. Calcular el área de la … Sigue leyendo
Publicado en Análisis real y complejo
Etiquetado area, círculo, imagen, unidad
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