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Archivo de la etiqueta: uniformemente
Funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos
RESUMEN. Estudiamos algunas funciones uniformemente continuas en espacios prehilbertianos. Enunciado Sea $P$ un espacio prehilbertiano. Demostrar que para todo $y\in P$ las aplicaciones de $P$ en $\mathbb{K}:$ $$(a)\;F_y(x)=\langle x,y\rangle.\quad (b)\;G_y(x)=\langle y,x\rangle.\quad (c)\; N(x)=\|x\|.$$ son uniformemente continuas. Solución $(a)$ Si $y=0,$ … Sigue leyendo
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Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass
Aplicamos el criterio de Weierstrass para identificar series uniformemente convergentes. Enunciado Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^2x}{2^n+1}$ es uniformemente convergente en $\mathbb{R}.$ Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-nx^2}}{n^2+x^2}$ es uniformemente convergente en $\mathbb{R}.$ Sea $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}nx}{n^3}.$ Demostrar que $\displaystyle\int_0^{\pi}f(x)\;dx=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^4}.$ Estudiar la convergencia de … Sigue leyendo
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La distancia es uniformemente continua
Demostramos que la aplicación distancia es uniformemente continua. Enunciado Sea $(E,d)$ un espacio métrico. Demostrar que la aplicación distancia $d:E\times E\to\mathbb{R}^+$ es uniformemente continua considerando en $E\times E$ la distancia $d_1[(x,y),(u,v)]=d(x,u)+d(y,v).$ y en $\mathbb{R}^+$ la distancia usual $d_u(t,s)=|t-s|$ Solución Para … Sigue leyendo
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