Teorema de Grassmann

Demostramos el teorema de Grassmann.

Enunciado
Demostrar el terorema de Grassmann:
Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita y sean $F$ y $G$ subespacios de $E.$ Entonces, $$ \dim (F+G)=\dim F+\dim G-\dim (F\cap G).$$

Solución
Llamemos $f=\dim F,$ $g=\dim G,$ $i=\dim (F\cap G)$ y supongamos que una base  de $F\cap G$ es $B_{F\cap G}=\{u_1,u_2,\ldots,u_i\}.$ Por el teorema de la ampliación de la base, podemos completar $B_{F\cap G}$ hasta obtener unas bases de $F$ y de $G:$$$\begin{aligned}
&B_F=\{u_1,u_2,\ldots,u_i,v_1,v_2,\ldots,v_{f-i}\},\\
&B_G=\{u_1,u_2,\ldots,u_i,w_1,w_2,\ldots,w_{g-i}\}.
\end{aligned}$$ El sistema $S=\{u_1,u_2,\ldots,u_i.v_1,v_2,\ldots,v_{f-i},w_1,w_2,\ldots,w_{g-i}\}$ genera a $F+G.$ Veamos que es un sistema libre. En efecto, sea
$$\sum_{\alpha=1}^i\lambda_{\alpha}v_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^{f-i}\mu_{\beta}v_{\beta}+\sum_{\gamma=1}^{g-i}\nu_{\gamma}w_{\gamma}=0.\quad (1)$$ El vector $\sum_{\gamma=1}^{g-i}\nu_{\gamma}w_{\gamma},$ que pertenece a $G,$ también pertence a $F$ por ser combinación lineal de los elementos de $B_F,$ y por tanto pertenece a $F\cap G.$ Pero $F\cap G$ y el subespacio generado por los vectores $\{w_1,w_2,\ldots,w_{g-i}\},$ son suplementarios en $G,$ luego $\sum_{\gamma=1}^{g-i}\nu_{\gamma}w_{\gamma}=0.$ Esto implica que todos los $\nu_{\gamma}$ son nulos al ser $\{w_1,w_2,\ldots,w_{g-i}\}$ sistema libre.
Sustituyendo estos $\nu_{\gamma}$ en $(1),$ y al ser $B_F$ sistema libre, también son nulos todos los $\lambda_{\alpha}$ y todos los $\mu_{\beta},$ es decir $S$ es sistema libre. En consecuencia, $S$ es una base de $F+G.$ Tenemos: $$\begin{aligned}
&\dim (F+G)=\operatorname{card}S=i+(f-i)+(g-i)=f+g-i\\
&=\dim F+\dim G-\dim (F\cap G),
\end{aligned}$$ lo cual prueba el teorema.