Transformada de Laplace de las derivadas

Publicada el noviembre 11, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos la manera de hallar la transformada de Laplace de las derivadas de una función.

    Enunciado
  1. Sea $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua y de orden exponencial $e^{\alpha t}.$ Sea $f’$ continua a trozos en todo intervalo $[0,b].$ Demostrar que existe $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ para todo $s>\alpha$ y además $$\mathcal{L}\{f'(t)\}=s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0).$$ Nota.  En general se verifica:
    Sea  $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ una función con derivadas continuas hasta orden $n-1$ y todas ellas de orden exponencial  $e^{\alpha t}.$ Sea  $f^{(n)}$ continua a trozos en todo intervalo $[0,b].$ Entonces, existe $\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}$ para todo $s>\alpha$ y además $$\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^n\mathcal{L}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-s^{n-3}f^{\prime\prime}(0)-\ldots-f^{(n-1)}(0).$$
  2. Sabiendo que  $\mathcal{L}\{\operatorname{sen}^2bt\}=\dfrac{2b^2}{s(s^2+4b^2)},$ hallar  $\mathcal{L}\{\operatorname{sen}bt\cos bt\}.$
  3. Sabiendo que  $\mathcal{L}\{t^2\}=\dfrac{2}{s^3},$ hallar  $\mathcal{L}\{t^4\}.$
  4. Sabiendo que  $\mathcal{L}\{t^4\}=\dfrac{24}{s^5},$ hallar  $\mathcal{L}\{t^8\}.$
    Solución
  1. Por definición de transformada de Laplace, $$\mathcal{L}\{f'(t)\}=\int_0^{+\infty}e^{-st}f'(t)\;dt=\lim_{R\to +\infty}\int_0^{R}e^{-st}f'(t)\;dt,$$ para los valores de $s$ para los cuales existe el límite anterior. Por la hipótesis de continuidad a trozos de la derivada de $f,$ en cualquier intervalo cerrado $[0,R],$ $f’$ tiene a lo sumo un número finito de discontinuidades $c_i$ tales que $$0\leq c_1<c_2<\cdots<c_n\leq R.$$ Podemos por tanto expresar $$\int_0^{R}e^{-st}f'(t)\;dt=\int_0^{c_1}e^{-st}f'(t)\;dt+\int_{c_1}^{c_2}e^{-st}f'(t)\;dt+\cdots+\int_{c_n}^{R}e^{-st}f'(t)\;dt.$$ Aplicando la fórmula de integración por partes a cada uno de los sumandos del segundo miembro: $$\int_0^{R}e^{-st}f'(t)\;dt=\left[e^{-st}f(t)\right]_0^{c_1-}+s\int_0^{c_1}e^{-st}f(t)\;dt+\left[e^{-st}f(t)\right]_{c_1+}^{c_2-}$$ $$+s\int_{c_1}^{c_2}e^{-st}f(t)\;dt+\cdots +\left[e^{-st}f(t)\right]_{c_n+}^{R-}+s\int_{c_n}^{R}e^{-st}f(t)\;dt.\quad (1)$$ Por hipótesis, $f$ es continua para todo $t\geq 0,$ en consecuencia $$f(c_1-)=f(c_1+),\;f(c_2-)=f(c_2+),\;\ldots,\;f(c_n-)=f(c_n+).$$ Simplificando la igualdad $(1)$ obtenemos $$\int_0^{R}e^{-st}f'(t)\;dt=-f(0)+e^{-sR}f(R)+s\int_0^Re^{-st}f(t)\;dt.\quad (2)$$ Dado que $f$ es de orden exponencial $e^{\alpha t},$ existen $t_0>0,$ $M>0$ tales que $e^{-\alpha t}\left|f(t)\right|<M$ si $t>t_0,$ luego $\left|e^{-sR}f(R)\right|<Me^{-(s-\alpha)R}$ si $R>t_0.$ Entonces, si $s>\alpha,$ $$\lim_{R\to +\infty}e^{-sR}f(R)=0.$$ Tomando límites en $(2)$ obtenemos $$\mathcal{L}\{f'(t)\}=-f(0)+s\mathcal{L}\{f(t)\},$$ lo cual prueba el resultado.
  2. Si  $f(t)=\operatorname{sen}^2bt,$ entonces  $f'(t)=2b\operatorname{sen}bt\cos bt$ y claramente se verifican las hipótesis  para el cumplimiento de $$\mathcal{L}\{f'(t)\}=s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0).$$ En consecuencia, $$2b\mathcal{L}\{\operatorname{sen}bt\cos bt\}=\dfrac{2b^2s}{s(s^2+4b^2)}$$ $$\Rightarrow \mathcal{L}\{\operatorname{sen}bt\cos bt\}=\dfrac{b}{s^2+4b^2},\; s>0.$$
  3. Si  $f(t)=t^4,$ entonces $f^{\prime\prime}(t)=12t^2$  y claramente se verifican las hipótesis  para el cumplimiento de $$\mathcal{L}\{f^{\prime\prime}(t)\}=s^2\mathcal{L}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0).$$ Por tanto, $$12\cdot \dfrac{2}{s^3}=s^2\mathcal{L}\{t^4\}-s\cdot 0-0\Rightarrow \mathcal{L}\{t^4\}=\frac{24}{s^5}.$$
  4. Si  $f(t)=t^8,$ entonces  $f^{\prime}(t)=8t^7,$  $f^{(2)}(t)=56t^6,$  $f^{(3)}(t)=336t^5,$  $f^{(4)}(t)=1680t^4$   y claramente se verifican las hipótesis  para el cumplimiento de $$\mathcal{L}\{f^{(4)}(t)\}=s^4\mathcal{L}\{f(t)\}-s^3f(0)-s^2f'(0)-sf^{(2)}(0)-f^{(3)}(0).$$ Por tanto, $$1680\cdot \dfrac{24}{s^5}=s^4\mathcal{L}\{t^8\}-s^3\cdot 0-s^2\cdot 0 -s\cdot 0-0\Rightarrow \mathcal{L}\{t^8\}=\frac{40320}{s^9}.$$
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