Un operador traspuesto en el espacio dual

Estudiamos un operador traspuesto en el espacio dual.

Enunciado
Sea $E=\{p\in\mathbb{R}[x]:\mbox{gr }p<5\},$ $F=\{p\in E:p(0)=p(1)=0\},$ $f$ el endomorfismo en $E$ definido por:

$a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 \;\;\to \;\; a_0+a_1x+(a_2-a_4)x^2-(a_1+a_2-a_4)x^3$

y $g$ la restricción de $f$ a $F.$ Se pide:

1.  Demostrar que $F$ es un espacio vectorial y hallar una base $B$ de $F.$
2. Demostrar que $f(F)\subset F$ y hallar la matriz de $g$ respecto de $B.$
3.  Determinar unas bases de $\ker g$ e $\mbox{Im }g.$
4.  Obtener la matriz $g^t$, operador traspuesto de $g$, respecto de la base dual de $B$, y hallar la imagen de $x^3-x$ por la forma lineal $g^t(\phi)$ siendo $\phi$ el elemento de $F^*$ definido por $\phi(p)=2.$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1. Dado que $E$ es espacio vectorial y $F\subset E,$ bastará demostrar que $F$ es subespacio de $E.$ Usamos una conocida caracterización de subespacios. (i) El polinomio nulo claramente pertenece a $F.$ (ii) Para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ y $p,q\in F,$ se verifica

$\left \{ \begin{matrix}(\lambda p+\mu q)(0)=\lambda p(0)+\mu q(0)=\lambda\cdot 0+\mu\cdot 0=0 \\(\lambda p+\mu q)(1)=\lambda p(1)+\mu q(1)=\lambda\cdot 0+\mu\cdot 0=0.\end{matrix}\right.
$

Es decir, $\lambda p+\mu q\in F.$ Concluimos que $F$ es subespacio de $E.$ Hallemos una base de $F.$ Los polinomios $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$ de $F$ son los que cumplen $p(0)=p(1)=0.$ Es decir:

$p\in F\Leftrightarrow\left \{ \begin{matrix}a_0=0\\ a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=0 .\end{matrix}\right.\quad (1)$

Tenemos así unas ecuaciones cartesianas de $F$ respecto de la base canónica $B_c$ de $E.$ Su dimensión es

$\dim F=\dim E-\mbox{rg}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&0&0\\{1}&{1}&{1}&1&1\end{bmatrix}=5-2=3.$

Dando a las incógnitas libres $a_2,a_3,a_4$ los valores de las filas de la matriz identidad de orden 3, obtenemos una base de $F$ expresada en coordenadas en $B_c:$

$\{(0,\;-1,\;1,\;0,\;0),\;(0,\;-1,\;0,\;1,\;0),\;(0,\;-1,\;0,\;0,\;1)\}.$

Por tanto, una base de $F$ es $B=\{-x+x^2,\;-x+x,\;-x+x^4\}.$

2.  Si un polinomio $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$ pertenece a $F,$ entonces satisface las condiciones (1). El transformado de $p(x)$ por $f$ es el polinomio

$q(x)=a_0+a_1x+(a_2-a_4)x^2-(a_1+a_2-a_4)x^3.$

Se verifica $q(0)=a_0=0,\;q(1)=0$ lo cual implica que $f[p(x)]\in F.$ Hemos demostrado que $f(F)\subset F,$ en consecuencia está bien definida la restricción $g:F\to F.$ De acuerdo con la definición de $g:$

$\left \{ \begin{matrix} g(-x+x^2)=-x+x^2\\g(-x+x^3)=-x+x^3\\g(-x+x^4)=-x-x^2+2x^3=-(-x+x^2)+2(-x+x^3).\end{matrix}\right.$

Transponiendo coeficientes obtenemos la matriz $A$ pedida:

$A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{\;\;2}\\{0}&{0}&{\;\;0}\end{bmatrix}\;.$

3.  La expresión matricial de $g$ en la base $B$ es

$\begin{bmatrix}{y_1}\\{y_2}\\{y_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{\;\;2}\\{0}&{0}&{\;\;0}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{bmatrix}\;.$

Entonces,

$\ker g \equiv \begin{bmatrix}{1}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{\;\;2}\\{0}&{0}&{\;\;0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{bmatrix}\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}x_1-x_2=0\\x_2+2x_3=0.\end{matrix}\right.$

La dimensión del núcleo es $\dim (\ker g)=\dim F-\mbox{rg}A=3-2=1.$ Dando a $x_3$ el valor 1 obtenemos una base de $\ker g$ en coordenadas con respecto de $B:$ $\{(-2,-2,1)\}.$ Corresponde al vector de $F:$

$-2(x-x^2)-2(-x+x^3)+1(-x+x^4)=-x+2x^2-2x^3+x^4.$

Es decir, una base de $\ker g$ es $B_{\ker g}=\{-x+2x^2-2x^3+x^4\}.$ El rango de $A$ es 2, y sus dos primeras columnas son linealmente independientes, por tanto determinan una base de $\mbox{Im }g$ en coordenadas en $B.$ En consecuencia, una base de la imagen de $g$ es $B_{\mbox{Im }g}=\{-x+x^2,-x+x^3\}.$

4.  Por un conocido teorema, si $M$ es la matriz de una aplicación lineal $h:V\to W$ en unas bases $B_V$ y $B_W$, entonces la aplicación lineal traspuesta las bases $h^t:W^*\to V^*$ es $M^t.$ En nuestro caso la matriz pedida es:

$A^t=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{0}&{0}\\{\;\;0}&{1}&{0}\\{-1}&{2}&{0}\end{bmatrix}\;.$

Por definición de aplicación lineal traspuesta, $g^t(\phi)=\phi\circ g$ en consecuencia $(g^t(\phi))(x^3-x)=(\phi\circ g)(x^3-x).$ Usando la expresión matricial de $g$ deducimos inmediatamente que $g(x^3-x)=x^3-x.$ Entonces,

$(g^t(\phi))(x^3-x)=\phi(x^3-x)=2^3-2=6.$