Una aplicación lineal discontinua

Proporcionamos una aplicación lineal y discontinua entre espacios normados.

Enunciado
Se considera el espacio vectorial $E=\mathcal{C}^1[0,1]$ de las funciones reales de clase $1$ definidas en $[0,1]$ con la norma $\|f\|=\sup_{x\in [0, 1]}\left|f(x)\right|.$ Demostrar que la aplicación $$T:E\to\mathbb{R},\quad T(f)=f'(0)$$ es lineal pero no continua.

Solución
Para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ y para todo $f,g\in E,$ $$T(\lambda f+\mu g)=(\lambda f+\mu g)'(0)=\lambda f'(0)+\mu g'(0)=\lambda T(f)+\mu T(g)$$ es decir, $T$ es lineal. Veamos que no es continua. Elijamos la sucesion de funciones de $E:$ $$f_n(x)=\frac{\text{sen } (n^2 x)}{n}.$$ Tenemos para todo $x\in [0,1]:$ $$\left|\frac{\text{sen } (n^2 x)}{n}\right|\leq \frac{1}{n}\Rightarrow \|f_n\|\leq \frac{1}{n}\Rightarrow f_n\to 0.$$ Por otra parte, $$T\left(f_n\right)=f’_n(0)=\frac{n^2\cos(n^2 \cdot 0)}{n}=n\to +\infty.$$ Entonces, la función $T$ no es continua pues si lo fuera, se tendría que verificar $T\left(f_n\right)\to T(0)=0.$