Valor principal de Cauchy de una integral impropia

Definimos el valor principal de Cauchy de una integral impropia.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Definimos el valor principal de Cauchy (VP) de la integral $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ como $$\text{VP}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx=\lim_{t\to+\infty}\int_{-t}^{t}f(x)\;dx.$$ Demostrar que si $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ es convergente, entonces $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx=\text{VP}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx.$$
Demostrar que el valor principal de Cauchy de una integral puede ser finito, siendo la integral divergente.

Solución

Si $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ es convergente, lo son $\int_{-\infty}^{0}f(x)\;dx$ y $\int_{0}^{+\infty}f(x)\;dx.$ Entonces,$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx=\int_{-\infty}^{0}f(x)\;dx+\int_{0}^{+\infty}f(x)\;dx$$ $$=\lim_{t\to +\infty}\int_{-t}^{0}f(x)\;dx+\lim_{t\to +\infty}\int_{0}^{t}f(x)\;dx$$ $$=\lim_{t\to +\infty}\left(\int_{-t}^{0}f(x)\;dx+\int_{0}^{t}f(x)\;dx\right)$$ $$=\lim_{t\to +\infty}\int_{-t}^{t}f(x)\;dx=\text{VP}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx.$$
Consideremos la integral $\int_{-\infty}^{+\infty}x\;dx.$ Entonces,$$\text{VP}\int_{-\infty}^{+\infty}x\;dx=\lim_{t\to+\infty}\int_{-t}^{t}x\;dx=\lim_{t\to+\infty}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-t}^t=\lim_{t\to+\infty}0=0.$$ Sin embargo, $$\int_{0}^{+\infty}x\;dx=\lim_{a\to +\infty}\int_{0}^{a}x\;dx=\lim_{a\to +\infty}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^a=\lim_{a\to +\infty}\frac{a^2}{2}=+\infty,$$ luego $\int_{-\infty}^{+\infty}x\;dx$ es divergente.