Determinantes, recuento de propiedades

Suponemos al lector familiarizado con la definición de determinante, con sus propiedades y con sus métodos de cálculo para órdenes concretos  2,3, 4, … . No obstante, hacemos un recuento de propiedades, que además son validas para matrices cuadradas en un cuerpo $\mathbb{K}$ cualquiera. Al determinante de una matriz cuadrada $A$ lo representamos por $\det A$ o bien por $|A|.$ La palabra linea significa fila o columna.

TEOREMA (Propiedades de los determinantes)

1.   El número de términos de un determinante de orden $n$ es $n!.$
2.   Si todos los elementos de una linea se multiplican por el elemento $k,$ el determinante queda multiplicado por $k.$
3.   Si se cambian entres sí dos lineas paralelas, el determinante obtenido es opuesto al original.
4.   Si en una matriz son nulos los elementos de una linea, el determinante de dicha matriz es nulo.
5.   Si una matriz tiene dos lineas paralelas iguales, su determinante es nulo.
6.   Si una matriz tiene dos lineas paralelas proporcionales, su determinante es nulo.
7.   El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de una linea cualquiera por sus adjuntos correspondientes.
8.   Si un determinante tiene una fila (columna) cuyos elementos son sumas de $s$ términos, se puede descomponer en suma de $s$ determinantes, que tienen las demás filas (columnas) iguales a las del dado, y en lugar de aquella, la formada por la primeros sumandos, por los segundos …, respectivamente.
9.   El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
10.   La suma de los productos de los elementos de una linea por los adjuntos de una paralela a ella es igual a 0.
11.   El determinante  de una matriz no se altera si a los elementos de una linea se les suman los de una paralela multiplicados por un mismo elemento.
12.   Si una matriz tiene una linea que es combinación lineal de otras paralelas, su determinante es nulo.
13.   El determinante de una matriz $A$ es igual al de su traspuesta, es decir $\det A^T=\det A.$
14.   El determinante del producto de dos matrices cuadradas $A,B$ y del mismo orden es igual al producto se sus respectivos determinantes, es decir $\det (AB)=(\det A)(\det B).$
15.   Si una matriz $A$ es invertible, entonces el determinante de su inversa es igual al inverso de su determinante, es decir $\det (A^{-1})=1/\det A.$
16.   Si $\begin{bmatrix}A & B \\ 0 & C \end{bmatrix}$ es matriz cuadrada por cajas, $A,B$ son también cuadradas y $0$ es matriz nula: $$\det \begin{bmatrix}A & B \\ 0 & C \end{bmatrix}=(\det A)(\det C).$$

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