Distribución binomial

RESUMEN. Hallamos las probabilidades de la distribución binomial y damos un ejemplo de aplicación.

Teorema
Sea $A$ un suceso asociado a un experimento aleatorio y sea $p(A)=p$ y $p(A^c)=1-p=q.$ Llamemos $X$ a la variable aleatoria número de éxitos al realizar $n$ pruebas. Entonces, $$p(X=r)=\binom{n}{r}p^rq^{n-r}.$$ Obtenemos así la llamada distribución binomial designada $B(n,p).$

Demostración
La probabilidad del suceso $\underbrace{A\ldots A}_{r\text{ veces}}\;
\underbrace{A^c\ldots A^c}_{n-r\text{ veces}}$ es $p^rq^{n-r}$ ahora bien las distintas formas de colocar $r$ veces $A$ y $n-r$ veces $A^c$ en linea son $$PR_{n}^{r,n-r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}=\binom{n}{r}$$ en consecuencia $$p(X=r)=\binom{n}{r}p^rq^{n-r}.$$
Ejercicio
El equipo $A$ tiene $2/3$ de probabilidad de ganar. Si $A$ juega $4$ partidos hallar la probabilidad de que $A$ gane
(i) Dos partidos.
(ii) Un partido por lo menos.
(iii) Más de la mitad de los partidos.

Solución
Se trata de una distribución binomial $B(4,2/3).$
(i) La probabilidad de ganar dos partidos es $$ p(X=2)=\binom{4}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^2=6\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{9}=\frac{8}{27}.$$ (ii) La probabilidad de ganar un partido por lo menos es $$ p(X\ge 1)=1-p(X=0)=1-\binom{4}{0}\left(\frac{2}{3}\right)^0\left(\frac{1}{3}\right)^4=1-\frac{1}{81}=\frac{80}{81}.$$ (iii) La probabilidad de ganar más de la mitad de los partidos es $$ p(X\ge 3)=p(X=3)+P(X=4)$$ $$=\binom{4}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right)^2+\binom{4}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{3}\right)^0=\ldots=\frac{16}{27}.$$