Miscelánea matemática

Proporcionamos una miscelánea de problemas resueltos y breves exposiciones teóricas sobre distintas ramas de las matemáticas. Se irán añadiendo otras entradas sucesivamente.

    Ecuaciones funcionales
  1. Ecuación funcional de Cauchy
  2. Ecuación funcional $f(x+y)=f(x)f(y)$
  3. Topología
  4. Infinitud de los números primos, demostración topológica
  5. Distancia $d(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|$ en los reales.
  6. El conjunto de las fracciones diádicas en $[0,1]$ es denso
  7. Caracterización de una topología por axiomas de clausura de Kuratowski
  8. Métrica producto $\displaystyle d(x,y)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}$
  9. Concepto de conjunto compacto
  10. Imágenes inversas de conjuntos compactos
  11. $X=\left\{(t,t):t\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\right\}$ no es cerrado con la topología de Zariski
  12. Grupos topológicos
  13. Topología cociente en $X/R$
  14. Teorema de los valores extremos sobre un compacto
  15. Caracterizaciones de la continuidad en espacios topológicos
  16. Teorema de compactificación de Alexandrov
  17. Completación de todo espacio métrico
  18. Topología final
  19. Concepto de espacio topológico
  20. Punto de acumulación
  21. Separación de puntos y espacio de Hausdorff
  22. Topología del orden
  23. Topologías de Zariski y usual en $k^n$
  24. $ A=\left\{{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}:y=\sin (1/x)}\right\}$ $\cup{\left\{{(0,0)}\right\}}$ conexo, pero no por caminos
  25. Topología Fort
  26. Axiomas de separación
  27. Espacios topológicos $T_1$
  28. Espacios topológicos $T_1$ y $T_2$
  29. Espacios topológicos $T_2$ y $T_3$
  30. Espacios topológicos $T_3$ y $T_4$
  31. Espacios $T_4$ y metrizables
  32. Recta de Sorgenfrey
  33. Todo espacio metrizable es normal
  34. Conjuntos acotados en espacios métricos
  35. Conjuntos totalmente acotados
  36. Caracterización de espacios topológicos normales
  37. Clausura de un conjunto conexo
  38. Diámetro de la clausura de un conjunto
  39. Lema de Uryshon
  40. Distancia acotada usual
  41. Equivalencia entre toda distancia y su acotada usual
  42. Espacios topológicos finitos metrizables
  43. Conjunto cerrado como intersección contable de abiertos
  44. Aparente desviación del teorema del punto fijo
  45. Teoría $p-$ádica
  46. Norma en un anillo unitario
  47. Seminorma del supremo en el anillo de las funciones continuas
  48. Ordinales racionales $p$-ádicos
  49. Norma $p$-ádica en los racionales
  50. Principio del triángulo isósceles en normas no arquimedianas
  51. Una sucesión de Cauchy con la distancia $p$-ádica
  52. Anillo de las sucesiones de Cauchy en un anillo normado
  53. Ideal de las sucesiones nulas en el anillo de las sucesiones de Cauchy
  54. Norma en el anillo cociente $\widehat{R}$ de las sucesiones de Cauchy sobre el ideal de las nulas
  55. $R$ como subanillo de $\widehat{R}$
  56. Completación de todo anillo normado
  57. Conservación de normas no arquimediadas por completación
  58. Cuerpo $\mathbb{Q}_p$ de los números $p$-ádicos y subanillo $\mathbb{Z}_p$
  59. Sucesiones eventualmente constantes con normas no arquimedianas
  60. Derivada aritmética
  61. Derivada aritmética
  62. Derivada aritmética natural
  63. Propiedades de la derivada aritmética natural
  64. Cotas para la derivada aritmética natural
  65. Primeras ecuaciones diferenciales aritméticas
  66. Conjetura de Goldbach y derivada aritmética
  67. Conjetura de los primos gemelos y derivada aritmética
  68. Conjetura de Sophie Germain y derivada aritmética
  69. La ecuación diferencial aritmética $n^\prime=n$
  70. Derivada aritmética entera
  71. Derivada aritmética racional
  72. Derivada aritmética en dominios de factorización única
  73. Derivada aritmética y anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$
  74. Teoría de cardinales
  75. Conjuntos equivalentes
  76. Conjuntos numerables y contables
  77. Potencia del continuo
  78. Teorema de Cantor
  79. Teorema de Cantor-Bernstein
  80. Orden en el conjunto de los cardinales
  81. La clase de los cardinales está totalmente ordenada
  82. Suma de cardinales
  83. Producto de cardinales
  84. Potenciación de cardinales
  85. El conjunto de los números algebraicos es contable
  86. Geometría diferencial
  87. Curva regular que no es localmente inyectiva
  88. Plano osculador
  89. Curvatura, torsión, ecuaciones intrínsecas
  90. Hélice circular: longitud, curvatura y torsión
  91. Una curva no rectificable
  92. Dos parametrizaciones de la elipse
  93. Dos parametrizaciones de la hipérbola
  94. Triedro de Frenet, rectas y planos asociados
  95. Representación paramétrica regular
  96. Cambio admisible de parámetro
  97. Curvas regulares
  98. Ecuaciones paramétricas de la intersección de una esfera y un plano
  99. Primera forma fundamental de una superficie
  100. Curvas rectificables y longitud de arco
  101. Una curva plana
  102. Plano osculador y curva plana
  103. Probabilidad
  104. Probabilidad y espacio probabilístico
  105. Probabilidad de la unión de $n$ sucesos
  106. Probabilidad condicionada
  107. Sucesos dependientes e independientes
  108. Fórmula de Bayes
  109. Distribución binomial
  110. Esquema de urnas de Poisson. Función generatriz
  111. Distribución de Poisson
  112. $\sigma-$álgebras y conjuntos de Borel
  113. Concepto de variable aleatoria
  114. Operaciones con variables aleatorias
  115. Función de distribución de una variable aleatoria
  116. Media y desviación típica de la distribución binomial
  117. Media y desviación típica de la distribución de Poisson
  118. Media y desviación típica de la distribución normal
  119. Gráfica de la campana de Gauss
  120. Variable aleatoria sin esperanza matemática
  121. Distribución de Pascal o geométrica
  122. Distribución uniforme continua
  123. Problema de las coincidencias de Montmort
  124. Extensiones de cuerpos
  125. Generador de la extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$
  126. Cuerpo de ruptura de un polinomio
  127. Grupo de Galois de una extensión
  128. El número e es trascendente
  129. Extensión finita y algebraica
  130. Polinomio mínimo de un elemento algebraico
  131. Cuerpo de descomposición
  132. Inverso en un cuerpo de ruptura
  133. Cuerpo fijo asociado a un subgrupo de automorfismos
  134. Regla y compás
  135. Duplicación del cubo
  136. Cuadratura del círculo
  137. Permutación de raíces y automorfismos de cuerpos
  138. Conjuntos algebraicos
  139. Algunos conjuntos algebraicos
  140. La rosa de cuatro pétalos es un conjunto algebraico
  141. Propiedades de los conjuntos algebraicos
  142. Caracterización de conjuntos algebraicos irreducibles
  143. Descomposición de un conjunto algebraico en unión de irreducibles
  144. Teorema de la base de Hilbert
  145. Hipersuperficie en $\mathbb{Q}^2$ y último teorema de Fermat
  146. Varios
  147. Funciones de matrices
  148. Conjugado generalizado para hallar límites
  149. Norma de una matriz antisimétrica
  150. Diferencias de orden $k$ y monomios generalizados
  151. Familia de rectas  $6px-2y+x+p^2=0$
  152. $n^5-n$ es divisible por 30
  153. Funciones de variación acotada
  154. Variación total de una función
  155. Diferencia de funciones crecientes
  156. Cambio de referencia en el espacio afín
  157. Métodos de Jacobi y Gauss-Seidel
  158. Álgebras uniformemente densas: teorema de Stone-Weierstrass
  159. Ecuación diofántica lineal en dos incógnitas
  160. Iteración de punto fijo
  161. Congruencias y anillo de clases residuales
  162. Teorema de Euler y pequeño teorema de Fermat
  163. Criterio de divisivilidad entre 3
  164. Máximo de una función con números combinatorios
  165. Infinitud de los números primos. Demostración elemental
  166. Infinitud de los números primos. Demostración analítica
  167. Teorema de representación de Euler
  168. Acotación de una suma de logaritmos de números primos
  169. Cálculo de una raíz de forma heurística.