Miscelánea matemática

Proporcionamos una miscelánea de problemas resueltos y breves exposiciones teóricas sobre distintas ramas de las matemáticas. Se irán añadiendo otras entradas sucesivamente.

Ecuaciones funcionales
1. Ecuación funcional de Cauchy
2. Ecuación funcional $f(x+y)=f(x)f(y)$
Topología
3. Infinitud de los números primos, demostración topológica
4. Distancia $d(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|$ en los reales.
5. El conjunto de las fracciones diádicas en $[0,1]$ es denso
6. Caracterización de una topología por axiomas de clausura de Kuratowski
7. Métrica producto $\displaystyle d(x,y)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}$
8. Concepto de conjunto compacto
9. Imágenes inversas de conjuntos compactos
10. $X=\left\{(t,t):t\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\right\}$ no es cerrado con la topología de Zariski
11. Grupos topológicos
12. Topología cociente en $X/R$
13. Teorema de los valores extremos sobre un compacto
14. Caracterizaciones de la continuidad en espacios topológicos
15. Teorema de compactificación de Alexandrov
16. Completación de todo espacio métrico
17. Topología final
18. Concepto de espacio topológico
19. Punto de acumulación
20. Separación de puntos y espacio de Hausdorff
21. Topología del orden
22. Topologías de Zariski y usual en $k^n$
23. $ A=\left\{{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}:y=\sin (1/x)}\right\}$ $\cup{\left\{{(0,0)}\right\}}$ conexo, pero no por caminos
24. Topología Fort
25. Axiomas de separación
26. Espacios topológicos $T_1$
27. Espacios topológicos $T_1$ y $T_2$
28. Espacios topológicos $T_2$ y $T_3$
29. Espacios topológicos $T_3$ y $T_4$
30. Espacios $T_4$ y metrizables
31. Recta de Sorgenfrey
32. Todo espacio metrizable es normal
33. Conjuntos acotados en espacios métricos
34. Conjuntos totalmente acotados
35. Caracterización de espacios topológicos normales
36. Clausura de un conjunto conexo
37. Diámetro de la clausura de un conjunto
38. Lema de Uryshon
39. Distancia acotada usual
40. Equivalencia entre toda distancia y su acotada usual
41. Espacios topológicos finitos metrizables
42. Conjunto cerrado como intersección contable de abiertos
43. Aparente desviación del teorema del punto fijo
Teoría $p-$ádica
1. Norma en un anillo unitario
2. Seminorma del supremo en el anillo de las funciones continuas
3. Ordinales racionales $p$-ádicos
4. Norma $p$-ádica en los racionales
5. Principio del triángulo isósceles en normas no arquimedianas
6. Una sucesión de Cauchy con la distancia $p$-ádica
7. Anillo de las sucesiones de Cauchy en un anillo normado
8. Ideal de las sucesiones nulas en el anillo de las sucesiones de Cauchy
9. Norma en el anillo cociente $\widehat{R}$ de las sucesiones de Cauchy sobre el ideal de las nulas
10. $R$ como subanillo de $\widehat{R}$
11. Completación de todo anillo normado
12. Conservación de normas no arquimediadas por completación
13. Cuerpo $\mathbb{Q}_p$ de los números $p$-ádicos y subanillo $\mathbb{Z}_p$
14. Sucesiones eventualmente constantes con normas no arquimedianas
Derivada aritmética
1. Derivada aritmética
2. Derivada aritmética natural
3. Propiedades de la derivada aritmética natural
4. Cotas para la derivada aritmética natural
5. Primeras ecuaciones diferenciales aritméticas
6. Conjetura de Goldbach y derivada aritmética
7. Conjetura de los primos gemelos y derivada aritmética
8. Conjetura de Sophie Germain y derivada aritmética
9. La ecuación diferencial aritmética $n^\prime=n$
10. Derivada aritmética entera
11. Derivada aritmética racional
12. Derivada aritmética en dominios de factorización única
13. Derivada aritmética y anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$
Teoría de cardinales
1. Conjuntos equivalentes
2. Conjuntos numerables y contables
3. Potencia del continuo
4. Teorema de Cantor
5. Teorema de Cantor-Bernstein
6. Orden en el conjunto de los cardinales
7. La clase de los cardinales está totalmente ordenada
8. Suma de cardinales
9. Producto de cardinales
10. Potenciación de cardinales
11. El conjunto de los números algebraicos es contable
Geometría diferencial
1. Curva regular que no es localmente inyectiva
2. Plano osculador
3. Curvatura, torsión, ecuaciones intrínsecas
4. Hélice circular: longitud, curvatura y torsión
5. Una curva no rectificable
6. Dos parametrizaciones de la elipse
7. Dos parametrizaciones de la hipérbola
8. Triedro de Frenet, rectas y planos asociados
9. Representación paramétrica regular
10. Cambio admisible de parámetro
11. Curvas regulares
12. Ecuaciones paramétricas de la intersección de una esfera y un plano
13. Primera forma fundamental de una superficie
14. Curvas rectificables y longitud de arco
15. Una curva plana
16. Plano osculador y curva plana
Probabilidad
1. Probabilidad y espacio probabilístico
2. Probabilidad de la unión de $n$ sucesos
3. Probabilidad condicionada
4. Sucesos dependientes e independientes
5. Fórmula de Bayes
6. Distribución binomial
7. Esquema de urnas de Poisson. Función generatriz
8. Distribución de Poisson
9. $\sigma-$álgebras y conjuntos de Borel
10. Concepto de variable aleatoria
11. Operaciones con variables aleatorias
12. Función de distribución de una variable aleatoria
13. Media y desviación típica de la distribución binomial
14. Media y desviación típica de la distribución de Poisson
15. Media y desviación típica de la distribución normal
16. Gráfica de la campana de Gauss
17. Variable aleatoria sin esperanza matemática
18. Distribución de Pascal o geométrica
19. Distribución uniforme continua
20. Problema de las coincidencias de Montmort
Extensiones de cuerpos
1. Generador de la extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$
2. Cuerpo de ruptura de un polinomio
3. Grupo de Galois de una extensión
4. El número e es trascendente
5. Extensión finita y algebraica
6. Polinomio mínimo de un elemento algebraico
7. Cuerpo de descomposición
8. Inverso en un cuerpo de ruptura
9. Cuerpo fijo asociado a un subgrupo de automorfismos
10. Regla y compás
11. Duplicación del cubo
12. Cuadratura del círculo
13. Permutación de raíces y automorfismos de cuerpos
Conjuntos algebraicos
1. Algunos conjuntos algebraicos
2. La rosa de cuatro pétalos es un conjunto algebraico
3. Propiedades de los conjuntos algebraicos
4. Caracterización de conjuntos algebraicos irreducibles
5. Descomposición de un conjunto algebraico en unión de irreducibles
6. Teorema de la base de Hilbert
7. Hipersuperficie en $\mathbb{Q}^2$ y último teorema de Fermat
Varios
1. Funciones de matrices
2. Conjugado generalizado para hallar límites
3. Norma de una matriz antisimétrica
4. Diferencias de orden $k$ y monomios generalizados
5. Familia de rectas  $6px-2y+x+p^2=0$
6. $n^5-n$ es divisible por 30
7. Funciones de variación acotada
8. Variación total de una función
9. Diferencia de funciones crecientes
10. Cambio de referencia en el espacio afín
11. Métodos de Jacobi y Gauss-Seidel
12. Álgebras uniformemente densas: teorema de Stone-Weierstrass
13. Ecuación diofántica lineal en dos incógnitas
14. Iteración de punto fijo
15. Congruencias y anillo de clases residuales
16. Teorema de Euler y pequeño teorema de Fermat
17. Criterio de divisivilidad entre 3
18. Máximo de una función con números combinatorios
19. Infinitud de los números primos. Demostración elemental
20. Infinitud de los números primos. Demostración analítica
21. Teorema de representación de Euler
22. Acotación de una suma de logaritmos de números primos
23. Cálculo de una raíz de forma heurística.