Límite por cambio de variable

RESUMEN. Calculamos un límite efectuando un cambio de variable, previo a la aplicación de la regla de L’Hopital.

Enunciado
Calcular el límite $L=\displaystyle\lim_{x \to\infty}\left(\displaystyle\frac{x}{\sin\frac{1}{x}} – x^2\right).$

Solución
Efectuando el cambio de variable $t=1/x$ queda $$L=\lim_{t \to 0}\left(\displaystyle\frac{\dfrac{1}{t}}{\sin t} – \frac{1}{t^2}\right)=\lim_{t\to 0}\frac{t-\sin t}{t^2\sin t}\underbrace{=}_{\sin t\sim t}\lim_{t\to 0}\frac{t-\sin t}{t^3}=\left\{\frac{0}{0}\right\}$$ $$\underbrace{=}_{\text{L’Hop.}} \lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{3t^2}=\left\{\frac{0}{0}\right\}\underbrace{=}_{\text{L’Hop.}}\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{6t}\underbrace{=}_{\sin t\sim t}\lim_{t\to 0}\frac{t}{6t}=\lim_{t\to 0}\frac{1}{6}=\frac{1}{6}.$$